Um cilindro maciço infinitamente longo de raio r=9 \mathrm{~cm} e com densidade de carga por unidade de volume \rho=6,4 \times 10^{-8} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3} está centrado no eixo y. Determine a intensidade do campo elétrico a uma distância radial r do centro do cilindro para:
a)(1,5 ponto) r=4 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado nos dá um cilindro maciço e infinito de raio R=9,cm com densidade volumétrica de carga \rho=6{,}4\times10^{-8},C/ m^{3}, centrado no eixo y. Ele pede o módulo do campo elétrico a uma distância radial r=4,cm do eixo. Como a geometria é cilíndrica e o cilindro é infinito, vamos aplicar a lei de Gauss para campos com simetria cilíndrica.

Passo 2

Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r (menor que R) e comprimento L.
Pela lei de Gauss:
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A} \;=\;\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
No nosso caso, \mathbf{E} é radial e constante na lateral da superfície, e não há fluxo nas tampas. Então
E\,(2\pi r L) \;=\;\frac{\rho\,(\pi r^2 L)}{\varepsilon_0}.
Isolando E, vem
E(r)\;=\;\frac{\rho\,r}{2\,\varepsilon_0}.

Passo 3

Substituindo \rho=6{,}4\times10^{-8},C/ m^{3}, r=4,cm =0{,}04,m e \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}, C^{2}/(N· m^{2}):
E(0{,}04) = \frac{6{,}4\times10^{-8}\times0{,}04}{2\times8{,}85\times10^{-12}} = \frac{2{,}56\times10^{-9}}{1{,}77\times10^{-11}} \approx1{,}45\times10^{2}\,\mathrm{N/C}.

Resposta

O campo elétrico a r=4,cm é
E=1,45\times10^{2}\,\mathrm{N/C},
direcionado radialmente para fora do cilindro.

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