Problema 4 (2,5pt) Dois fios retilíneos, longos e paralelos, estão separados por uma distância d e transportam correntes i e 3 i com sentidos opostos. Determine o ponto (ou os pontos) do espaço, onde os campos magnéticos dos dois fios se cancelam. (JUSTIFIQUE)

Passo 1

O enunciado dá dois fios infinitos, paralelos ao eixo z, separados por distância d no plano xy. O fio 1, em (0,0), carrega corrente i para cima +z e o fio 2, em (d,0), carrega corrente 3i para baixo -z. Precisamos achar os pontos do espaço onde \vec B_1+\vec B_2=\vec0.

Passo 2

Num ponto genérico (x,0,0) do eixo x, as intensidades dos campos magnéticos valem, pela lei de Ampère para fio longo,
\bigl\lvert\vec B_1\bigr\rvert = \frac{\mu_0\,i}{2\pi\,|x|}, \quad \bigl\lvert\vec B_2\bigr\rvert = \frac{\mu_0\,(3i)}{2\pi\,|x-d|}.

Passo 3

Pelo sentido usando a regra da mão direita:
  • Para o fio 1 +z, em x<0 o campo \vec B_1 aponta em +y.
  • Para o fio 2 -z, em x<0 o ponto está à esquerda do fio 2, e \vec B_2 aponta em -y.
    Logo em x<0 os dois campos são anti-paralelos e podem se anular.

Passo 4

Impondo igualdade de módulos em x<0:
\frac{\mu_0\,i}{2\pi\,(-x)} = \frac{\mu_0\,(3i)}{2\pi\,\bigl|x-d\bigr|}
Em x<0 temos |x|=-x e \bigl|x-d\bigr|=d-x, então
\frac{1}{-x} = \frac{3}{\,d - x\,} \quad\Longrightarrow\quad d-x = -3x \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{d}{2}.

Passo 5

O único x real que satisfaz é -d/2<0. Como o problema é simétrico em z, a anulação ocorre ao longo da reta paralela a z definida por
x = -\tfrac{d}{2},\quad y=0,\quad z\in\mathbb R.

Resposta

Todos os pontos sobre a reta \bigl\{(-\tfrac{d}{2},0,z)\mid z\in\mathbb R\bigr\}, isto é, a linha paralela aos fios situada a \tfrac{d}{2} à esquerda do primeiro fio.

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