Tipler-21-8: Duas cargas iguais de +3,0[\mu C] estão sob o eixo dos y, uma delas na origem e a outra em y=6[m]. Uma terceira carga q_{3}=+2,0[\mu C] está no eixo x em x=8[m]. Achar a força resultante sobre q_{3}.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas iguais q_{1}=q_{2}=+3{,}0\,\mu C localizadas em (0,0) e (0,6\,\mathrm{m}), e uma terceira carga q_{3}=+2{,}0\,\mu C em (8\,\mathrm{m},0). Pede-se a força resultante sobre q_{3}. O conteúdo envolvido é a Lei de Coulomb em sua forma vetorial e soma de vetores de força.

Passo 2

Calcular a força \mathbf{F}_1 sobre q_{3} devida a q_{1} em (0,0). A distância entre q_{1} e q_{3} é
r_{13}=8\,\mathrm{m},
e o vetor unitário de repulsão é \hat{\mathbf{r}}_{13}=\hat{\mathbf{i}}. Usando
k=8{,}99\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}},
temos
F_1 = k\,\frac{q_{1}\,q_{3}}{r_{13}^{2}} =8{,}99\times10^{9}\,\frac{(3{,}0\times10^{-6})(2{,}0\times10^{-6})}{8^{2}} =8{,}44\times10^{-4}\,\mathrm{N}.
Logo,
\mathbf{F}_1 = (8{,}44\times10^{-4}\,\mathrm{N})\,\hat{\mathbf{i}}.

Passo 3

Calcular a força \mathbf{F}_2 sobre q_{3} devida a q_{2} em (0,6). A distância é
r_{23}=\sqrt{8^{2}+(-6)^{2}}=10\,\mathrm{m},
e o vetor de repulsão é
\hat{\mathbf{r}}_{23}=\frac{(8\,\hat{\mathbf{i}}-6\,\hat{\mathbf{j}})}{10}=(0{,}8\,\hat{\mathbf{i}}-0{,}6\,\hat{\mathbf{j}}).
O módulo é
F_2 = k\,\frac{q_{2}\,q_{3}}{r_{23}^{2}} =8{,}99\times10^{9}\,\frac{(3{,}0\times10^{-6})(2{,}0\times10^{-6})}{10^{2}} =5{,}39\times10^{-4}\,\mathrm{N}.
Portanto, as componentes são
F_{2x}=F_{2}\cdot0{,}8=4{,}31\times10^{-4}\,\mathrm{N},\quad F_{2y}=F_{2}\cdot(-0{,}6)=-3{,}24\times10^{-4}\,\mathrm{N},
e
\mathbf{F}_2=4{,}31\times10^{-4}\,\hat{\mathbf{i}} +(-3{,}24\times10^{-4})\,\hat{\mathbf{j}}\;\mathrm{N}.

Passo 4

Somar vetorialmente
\mathbf{F}_{\mathrm{res}}=\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 =(8{,}44\times10^{-4}+4{,}31\times10^{-4})\,\hat{\mathbf{i}} +(-3{,}24\times10^{-4})\,\hat{\mathbf{j}} =1{,}28\times10^{-3}\,\hat{\mathbf{i}} -3{,}24\times10^{-4}\,\hat{\mathbf{j}}\;\mathrm{N}.
O módulo e direção (em relação ao eixo x) são
\|\mathbf{F}_{\mathrm{res}}\| =\sqrt{(1{,}28\times10^{-3})^{2}+(-3{,}24\times10^{-4})^{2}} =1{,}32\times10^{-3}\,\mathrm{N},
\theta=\arctan\!\biggl(\frac{|F_{y}|}{F_{x}}\biggr) =\arctan\!\bigl(\tfrac{3{,}24\times10^{-4}}{1{,}28\times10^{-3}}\bigr) \approx14{,}3^\circ \\ (\text{abaixo do }x).

Resposta

A força resultante sobre q_{3} é
\mathbf{F}_{\mathrm{res}} =1{,}28\times10^{-3}\,\hat{\mathbf{i}} -3{,}24\times10^{-4}\,\hat{\mathbf{j}}\;\mathrm{N},
com módulo \;1{,}32\times10^{-3}\,\mathrm{N}\; e direção de aproximadamente 14{,}3^\circ abaixo do eixo x.

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