Um cilindro maciço isolante com um comprimento muito maior que seu raio de 3,6 \mathrm{~cm} é carregado uniformemente, de modo que para um trecho de 2,8 \mathrm{~m} de comprimento a carga acumulada é de 6,8 \mathrm{nC}.
Calcule a magnitude do campo elétrico a uma distância de metade do raio a partir do eixo do cilindro e distante de suas extremidades.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro muito longo (ignoramos as extremidades) de raio R=3{,}6\text{ cm}=0{,}036\text{ m}, carregado uniformemente. Num trecho de comprimento L=2{,}8\text{ m} há carga Q=6{,}8\text{ nC}=6{,}8\times10^{-9}\text{ C}. Queremos o campo elétrico a uma distância r=\tfrac R2 do eixo, bem no meio do cilindro. Vamos usar a Lei de Gauss para simetria cilíndrica.

Passo 2

Calculamos a densidade linear de carga
\lambda = \frac{Q}{L} = \frac{6{,}8\times10^{-9}}{2{,}8} \approx 2{,}43\times10^{-9}\,\mathrm{C/m}.

Passo 3

Determinar a densidade volumétrica de carga a partir de
\rho = \frac{\lambda}{\pi R^2}
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\rho = \frac{2{,}43\times10^{-9}}{\pi\,(0{,}036)^2}\approx 5{,}98\times10^{-7}\,\mathrm{C/m^3}.

Passo 4

Para r<R, a Lei de Gauss dá
E(r)\,2\pi rL = \frac{\rho\,\pi r^2 L}{\epsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{\rho\,r}{2\epsilon_0}.

Passo 5

Substituindo r=\tfrac R2 e \rho calculada, com \epsilon_0\approx8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{C^2/(N\,m^2)}:
E\Bigl(\tfrac R2\Bigr) =\frac{5{,}98\times10^{-7}\times0{,}018}{2\times8{,}85\times10^{-12}} \approx6{,}1\times10^{2}\,\mathrm{V/m}.

Resposta

A magnitude do campo elétrico é aproximadamente
6,1\times10^{2}\,\mathrm{V/m}.

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