Mostre, utilizando o princípio da mínima energia potencial, por que uma mola em equilíbrio se alonga até o ponto em que a força elástica se iguala à força aplicada.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, pelo princípio da mínima energia potencial, que uma mola de constante elástica k sujeita a uma força constante F atinge o equilíbrio num \,x tal que a força elástica k\,x se iguala a F. Vamos usar o conceito de energia potencial elástica e a energia potencial associada à força aplicada.

Passo 2

A energia potencial armazenada na mola ao ser alongada de x=0 até x é
U_{\text{el}}(x)=\tfrac12\,k\,x^{2}.
A força externa F realiza um trabalho que pode ser interpretado como energia potencial
U_{\text{ext}}(x)=-F\,x,
pois ao aumentar x essa força “cai” em potencial.

Passo 3

O princípio da mínima energia potencial diz que a posição de equilíbrio x_{\text{eq}} faz a energia potencial total
U(x)=U_{\text{el}}(x)+U_{\text{ext}}(x)
ser mínima. Logo, é necessário
\frac{dU}{dx}\Big|_{x=x_{\text{eq}}}=0.

Passo 4

Escrevendo explicitamente
U(x)=\tfrac12\,k\,x^{2}-F\,x,
temos
\frac{dU}{dx}=k\,x - F.

Passo 5

Igualando a zero para encontrar o mínimo:
k\,x_{\text{eq}} - F = 0 \quad\Longrightarrow\quad k\,x_{\text{eq}} = F.
Isso mostra que no equilíbrio a força elástica k\,x_{\text{eq}} é exatamente igual à força aplicada F.

Resposta

No equilíbrio a mola se alonga até x tal que
k\,x = F,
ou seja, a força elástica se iguala à força aplicada.

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