Um cilindro maciço longo de comprimento
e raio
está uniformemente carregado com uma carga
. Determine o campo elétrico a uma distância r
do eixo do cilindro (Use
) ( 2.0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o campo elétrico a uma distância
do eixo de um cilindro maciço uniformemente carregado. Os dados fornecidos são:
A pergunta é: qual é o campo elétrico
a essa distância
do eixo do cilindro?
Passo 2
Por que usar a Lei de Gauss? Vou explicar devagar: quando temos um cilindro longo com distribuição de carga uniforme e queremos o campo a uma distância radial do eixo, o problema tem simetria cilíndrica. Isso significa que o campo elétrico tem direção radial, depende apenas da distância radial
e é o mesmo em todos os pontos de um cilindro coaxial. A Lei de Gauss diz:
onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana. Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio
e comprimento
(mesma
do cilindro carregado). Nessa superfície:
- O campo é paralelo à superfície lateral e constante em magnitude sobre ela, então o fluxo pela lateral é
. - Nas tampas (as faces planas), o campo é radial e portanto perpendicular às áreas das tampas, logo o produto escalar
nas tampas é zero. Então a integral de fluxo fica só com a lateral.
Portanto pela Lei de Gauss:
Passo 3
Precisamos de
, a carga contida no cilindro de raio
e comprimento
. Como a carga é uniformemente distribuída no volume do cilindro maciço, primeiro calculamos a densidade volumétrica de carga
:
Faço as contas passo a passo:
Então
Passo 4
Como
(o ponto está dentro do cilindro), a carga encerrada pelo cilindro gaussiano de raio
é
Posso calcular o volume interno para checar:
Então
Passo 5
Volto à Lei de Gauss:
Agora simplifico algebraicamente: podemos cancelar
e
e um fator
, obtendo uma forma simples:
Explico o que cada símbolo significa:
-
é a densidade volumétrica de carga ( ). -
é a distância radial do eixo onde queremos o campo ( ). -
é a permissividade do vácuo ( ).
Essa expressão é típica: para dentro de um cilindro uniformemente carregado, o campo cresce linearmente com.
Passo 6
Agora calculamos numericamente usando
encontrado:
Faço as contas:
Conferência rápida com a fórmula direta (sem passar por
):
substituindo os valores também dá aproximadamente
— está consistente.
Passo 7
Interpretação final e direção: a carga total é positiva, então o campo elétrico aponta radialmente para fora do eixo do cilindro. Além disso, observe que este resultado vale enquanto estivermos dentro do cilindro (
); para
a expressão muda e o campo decai como
.