Um cilindro maciço longo de comprimento \mathrm{L}=20.0 \mathrm{~m} e raio \mathrm{R}=2.0 \times 10^{-2} \mathrm{~m} está uniformemente carregado com uma carga \mathrm{q}=+5.0 \times 10^{-11} \mathrm{C}. Determine o campo elétrico a uma distância r =1.0 \times 10^{-2} \mathrm{~m} do eixo do cilindro (Use \varepsilon=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} / \mathrm{N} . \mathrm{m}^{2} ) ( 2.0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o campo elétrico a uma distância \,r=1{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m} do eixo de um cilindro maciço uniformemente carregado. Os dados fornecidos são:
L=20{,}0\\ \mathrm{m},
R=2{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m},
q=+5{,}0\times10^{-11}\\ \mathrm{C},
r=1{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m},
\varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C}^2/(\mathrm{N\cdot m^2}).
A pergunta é: qual é o campo elétrico \mathbf{E} a essa distância \,r do eixo do cilindro?

Passo 2

Por que usar a Lei de Gauss? Vou explicar devagar: quando temos um cilindro longo com distribuição de carga uniforme e queremos o campo a uma distância radial do eixo, o problema tem simetria cilíndrica. Isso significa que o campo elétrico tem direção radial, depende apenas da distância radial r e é o mesmo em todos os pontos de um cilindro coaxial. A Lei de Gauss diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total dentro da superfície gaussiana. Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio r e comprimento L (mesma L do cilindro carregado). Nessa superfície:
  • O campo é paralelo à superfície lateral e constante em magnitude sobre ela, então o fluxo pela lateral é E\cdot(2\pi r L).
  • Nas tampas (as faces planas), o campo é radial e portanto perpendicular às áreas das tampas, logo o produto escalar \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} nas tampas é zero. Então a integral de fluxo fica só com a lateral.
Portanto pela Lei de Gauss:
E\cdot(2\pi r L)=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.

Passo 3

Precisamos de Q_{\text{enc}}, a carga contida no cilindro de raio r e comprimento L. Como a carga é uniformemente distribuída no volume do cilindro maciço, primeiro calculamos a densidade volumétrica de carga \rho:
\rho=\frac{q}{V}=\frac{q}{\pi R^2 L}.
Faço as contas passo a passo:
\pi R^2 L=\pi\cdot(2{,}0\times10^{-2})^2\cdot20{,}0 =\pi\cdot4{,}0\times10^{-4}\cdot20{,}0 =\pi\cdot8{,}0\times10^{-3} \approx0{,}0251327\\ \mathrm{m^3}.
Então
\rho=\frac{5{,}0\times10^{-11}}{0{,}0251327}\approx1{,}99\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^3}.

Passo 4

Como r<R (o ponto está dentro do cilindro), a carga encerrada pelo cilindro gaussiano de raio r é
Q_{\text{enc}}=\rho\cdot(\text{volume do cilindro de raio }r)=\rho\cdot\pi r^2 L.
Posso calcular o volume interno para checar:
\pi r^2 L=\pi\cdot(1{,}0\times10^{-2})^2\cdot20{,}0 =\pi\cdot1{,}0\times10^{-4}\cdot20{,}0 =\pi\cdot2{,}0\times10^{-3} \approx0{,}0062832\\ \mathrm{m^3}.
Então
Q_{\text{enc}}\approx(1{,}99\times10^{-9})\cdot0{,}0062832\approx1{,}25\times10^{-11}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Volto à Lei de Gauss:
E\cdot(2\pi r L)=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} =\frac{\rho\pi r^2 L}{\varepsilon_0}.
Agora simplifico algebraicamente: podemos cancelar \pi e L e um fator r, obtendo uma forma simples:
E=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}.
Explico o que cada símbolo significa:
  • \rho é a densidade volumétrica de carga ( \mathrm{C/m^3}).
  • r é a distância radial do eixo onde queremos o campo ( \mathrm{m}).
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}).
    Essa expressão é típica: para dentro de um cilindro uniformemente carregado, o campo cresce linearmente com r.

Passo 6

Agora calculamos numericamente usando \rho encontrado:
E=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0} =\frac{1{,}99\times10^{-9}\cdot1{,}0\times10^{-2}}{2\cdot8{,}85\times10^{-12}}.
Faço as contas:
\text{numerador}=1{,}99\times10^{-11},
\text{denominador}=1{,}77\times10^{-11},
E\approx\frac{1{,}99\times10^{-11}}{1{,}77\times10^{-11}}\approx1{,}12\\ \mathrm{N/C}.
Conferência rápida com a fórmula direta (sem passar por \rho):
E=\frac{q\,r}{2\pi\varepsilon_0 R^2 L},
substituindo os valores também dá aproximadamente 1{,}12\\ \mathrm{N/C} — está consistente.

Passo 7

Interpretação final e direção: a carga total é positiva, então o campo elétrico aponta radialmente para fora do eixo do cilindro. Além disso, observe que este resultado vale enquanto estivermos dentro do cilindro ( r<R); para r>R a expressão muda e o campo decai como 1/r.

Resposta

\,1{,}12\\ \mathrm{N/C} (dirigido radialmente para fora do eixo)

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