São dados três vetores em metros:
\begin{aligned} & \vec{d}_{1}=-3,0 \hat{\mathrm{i}}+3,0 \hat{\mathrm{j}}+2,0 \hat{\mathrm{k}} \\\ & \vec{d}_{2}=-2,0 \hat{\mathrm{i}}-4,0 \hat{\mathrm{j}}+2,0 \hat{\mathrm{k}} \\\ & \vec{d}_{3}=2,0 \hat{\mathrm{i}}+3,0 \hat{\mathrm{j}}+1,0 \hat{\mathrm{k}} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado fornece três vetores (em metros). Vou listar claramente o que foi dado e o que vamos responder.
Dado:
\vec{d}_{1}=\langle -3,0,\;3,0,\;2,0\rangle
\vec{d}_{2}=\langle -2,0,\;-4,0,\;2,0\rangle
\vec{d}_{3}=\langle 2,0,\;3,0,\;1,0\rangle
Perguntas que vou resolver (não te preocupes, eu não te pergunto nada mais — eu escolhi as perguntas mais naturais para esses dados):
  1. Calcular o produto misto (produto escalar de \vec{d}_1 com o produto vetorial \vec{d}_2\times\vec{d}_3), isto é \vec{d}_1\cdot(\vec{d}_2\times\vec{d}_3).
  2. A partir do resultado, dizer se os vetores são linearmente independentes (ou seja, se formam base de \mathbb{R}^3).
  3. Interpretar geometricamente: calcular o volume do paralelepípedo determinado por \vec{d}_1,\vec{d}_2,\vec{d}_3.

Passo 2

Vou explicar o que é o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} e como calculá-lo — passo a passo como se estivéssemos na prova.
  • Definição e ideia geométrica: o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} é um vetor perpendicular a ambos \vec{a} e \vec{b}. O módulo \|\vec{a}\times\vec{b}\| vale \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}.
  • Cálculo algébrico (fórmula prática): para \vec{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle e \vec{b}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle, usa-se a expansão pela primeira linha do determinante:
\vec{a}\times\vec{b}= \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr).
Explicando: cada componente é um determinante 2×2 obtido ao “riscar” a linha e a coluna correspondentes; preste atenção ao sinal do termo do meio (é subtraído no desenvolvimento).
Agora aplico isso para calcular \vec{d}_2\times\vec{d}_3. Pegando as componentes (note que eu as escrevo com vírgula decimal conforme o enunciado):
\vec{d}_2=\langle -2,0,\;-4,0,\;2,0\rangle,\qquad \vec{d}_3=\langle 2,0,\;3,0,\;1,0\rangle.
Calculo cada componente:
  • Componente x (primeira): a_2 b_3 - a_3 b_2 = (-4,0)\cdot(1,0) - (2,0)\cdot(3,0) = -4,0 - 6,0 = -10,0.
  • Componente y (segunda): a_3 b_1 - a_1 b_3 = (2,0)\cdot(2,0) - (-2,0)\cdot(1,0) = 4,0 - (-2,0) = 6,0.
    Observação: aqui é importante lembrar que no determinante da segunda componente o sinal efetivo é positivo porque já incluímos a fórmula direta a_3 b_1 - a_1 b_3.
  • Componente z (terceira): a_1 b_2 - a_2 b_1 = (-2,0)\cdot(3,0) - (-4,0)\cdot(2,0) = -6,0 - (-8,0) = 2,0.
Portanto:
\vec{d}_2\times\vec{d}_3=\langle -10,0,\;6,0,\;2,0\rangle.

Passo 3

Agora explico o produto escalar e calculo o produto misto.
  • Produto escalar: para \vec{u}=\langle u_1,u_2,u_3\rangle e \vec{v}=\langle v_1,v_2,v_3\rangle, definimos
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3.
Geometricamente, \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\varphi, mas aqui usaremos a soma dos produtos das componentes (é o jeito direto em prova).
Queremos \vec{d}_1\cdot(\vec{d}_2\times\vec{d}_3). Pegando \vec{d}_1=\langle -3,0,\;3,0,\;2,0\rangle e \vec{d}_2\times\vec{d}_3=\langle -10,0,\;6,0,\;2,0\rangle, fazemos a soma dos produtos das componentes:
\vec{d}_1\cdot(\vec{d}_2\times\vec{d}_3)=(-3,0)\cdot(-10,0)+(3,0)\cdot(6,0)+(2,0)\cdot(2,0).
Calcule passo a passo:
(-3,0)\cdot(-10,0)=30,0,
(3,0)\cdot(6,0)=18,0,
(2,0)\cdot(2,0)=4,0.
Somando:
30,0+18,0+4,0=52,0.
Então o produto misto vale \;52,0\;.

Passo 4

Interpretação do resultado e consequência sobre independência linear.
  • O produto misto \vec{d}_1\cdot(\vec{d}_2\times\vec{d}_3) é igual ao determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as componentes desses vetores. Se esse produto misto for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes (não estão todos num mesmo plano) e formam uma base de \mathbb{R}^3.
  • Como obtivemos \;52,0\neq 0\;, concluímos que \vec{d}_1,\vec{d}_2,\vec{d}_3 são linearmente independentes e, portanto, geram \mathbb{R}^3.

Passo 5

Volume do paralelepípedo formado pelos vetores.
  • O valor absoluto do produto misto dá o volume do paralelepípedo determinado pelos três vetores. Ou seja,
\text{Volume}=\bigl|\vec{d}_1\cdot(\vec{d}_2\times\vec{d}_3)\bigr|.
  • Já temos o produto misto \;52,0, então o volume do paralelepípedo é \;52,0\\ \mathrm{m}^3.

Resposta

\vec{d}_1\cdot(\vec{d}_2\times\vec{d}_3)=52,0
Os vetores \vec{d}_1,\vec{d}_2,\vec{d}_3 são linearmente independentes.
Volume do paralelepípedo determinado por \vec{d}_1,\vec{d}_2,\vec{d}_3: 52,0\\ \mathrm{m}^3

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