Um fio de comprimento L=5.0 \mathrm{~m} está submetido a uma diferença de potencial v=100 Supondo que ele possua uma densidade de corrente igual a 1.0 \times 10^{-4} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}, determine resistividade do fio. (2.0 pontos)

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (escritos em TeX):
L = 5{,}0\\ \mathrm{m}
v = 100
J = 1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}
O enunciado pede: determinar a resistividade do fio, \rho.
Observação: o enunciado deu v=100 sem unidade explícita. Vou interpretar v como a diferença de potencial de 100\\ \mathrm{V} (valor típico em questões desse tipo). Se essa interpretação fosse diferente, o procedimento é o mesmo, muda apenas o número final proporcionalmente.

Passo 2

Explicar a relação física que vamos usar (a “lei de Ohm” local / forma microscópica).
A forma microscópica da lei de Ohm relaciona densidade de corrente \mathbf{J} com campo elétrico \mathbf{E}:
\mathbf{J}=\sigma\,\mathbf{E},
onde \sigma é a condutividade elétrica do material (unidade \mathrm{S}/\mathrm{m}=\Omega^{-1}\!\cdot\mathrm{m}^{-1}). A resistividade \rho é o inverso da condutividade:
\rho=\frac{1}{\sigma}.
Rearranjando, obtemos a relação útil
\rho=\frac{E}{J}.
Aqui:
  • \mathbf{J} é a densidade de corrente (corrente por área), em \mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}.
  • \mathbf{E} é o campo elétrico (em \mathrm{V}/\mathrm{m}).
  • \rho terá unidade \Omega\cdot\mathrm{m} porque \mathrm{V}/\mathrm{m} dividido por \mathrm{A}/\mathrm{m}^{2} (\mathrm{V}\cdot\mathrm{m})/\mathrm{A}=\Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 3

Relacionar o campo elétrico \mathbf{E} com a diferença de potencial aplicada ao fio.
Para um fio com queda de potencial uniforme ao longo do comprimento L, o módulo do campo elétrico é
E=\frac{V}{L},
onde V é a diferença de potencial entre as extremidades (aqui interpreto V=100\\ \mathrm{V}).
Calculemos numericamente:
E=\frac{100\\ \mathrm{V}}{5{,}0\\ \mathrm{m}} = 20\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.

Passo 4

Usar a relação \rho=E/J para encontrar a resistividade.
Substituindo E e J (todos já em unidades do SI):
\rho=\frac{E}{J}=\frac{20\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}}{1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}}.
Fazendo a conta:
\rho = 20 \div \bigl(1{,}0\times10^{-4}\bigr) = 20 \times 10^{4} = 2{,}0\times10^{5}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 5

Verificação rápida de unidades e ordem de grandeza.
Unidades: \dfrac{\mathrm{V}/\mathrm{m}}{\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}}=\dfrac{\mathrm{V}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{A}}=\Omega\cdot\mathrm{m}. OK.
Ordem de grandeza: \rho=2{,}0\times10^{5}\\ \Omega\cdot\mathrm{m} é muito alta para metais (metais têm \rho\sim10^{-8} a 10^{-6}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}), então esse fio seria mais parecido com um isolante — mas isso só é comentário físico; o cálculo matemático está consistente.

Resposta

\rho=2{,}0\times10^{5}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}

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