Um cilindro maciço, longo, não-condutor, com 4,0 cm de raio, possui uma densidade volumétrica de cargas não-uniforme rho que é função da distância radial r a partir do eixo do cilindro: rho=A r^2. Para A=2,5 mu C / m^3, determine o módulo do campo elétrico para r=3,0 cm.

Passo 1

Beleza, temos um cilindro longo e não condutor, de raio R = 4,0 cm, com densidade de carga que varia de acordo com a distância r ao eixo:
, onde .
O que a gente quer é o campo elétrico a uma distância cm do eixo.
Conteúdo: Lei de Gauss para cálculo de campo em distribuições com simetria cilíndrica.
O que vamos precisar:
• Entender a Lei de Gauss.
• Calcular a carga total “presa” dentro de um cilindro gaussiano de raio r.
• Resolver para .

Passo 2

Primeiro, a teoria:
A Lei de Gauss diz que, para um cilindro imaginário de comprimento Phi = oint Ecdot dA = Qrm intvarepsilon0 e raio Phi = E(r),l(2pi r Lr) , alinhado com o eixo de simetria, temos
Por simetria cilíndrica, é radial e constante na superfície lateral, então

Passo 3

Agora, vamos achar Qrm int = integral0^r rho(r'),dV = integral0^r A,r'^2 ,l(2pi r' L,dr'r) =2pi A L integral0^r r'^3,dr' , a carga contida no cilindro gaussiano de raio integral0^r r'^3,dr' = r^44, .
Densidade volumétrica: Qrm int = 2pi A L ,r^44 = pi A L,r^42 .
Em coordenadas cilíndricas, um “anelzinho” de espessura e comprimento tem volume .
Então
Integrando:
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Passo 4

Voltando na Lei de Gauss:
E(r),(2pi r L) = Qrm intvarepsilon0 = 1varepsilon0,pi A L,r^42
Isolando E(r) = pi A L,r^42,varepsilon0,(2pi r L) = A,r^34,varepsilon0 :

Passo 5

Bora pro número.
Dados:
E(0,03) = 2,5times10^-6,l(0,03r)^3 4,(8,85times10^-12) approx 2,5times10^-6times2,7times10^-53,54times10^-11 approx1,9;N/C ,
,
.
Então

Resposta

, radial para fora do eixo.

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