Um cilindro maciço, longo, não-condutor, com
de raio, possui uma densidade volumétrica de cargas não-uniforme
que é função da distância radial
a partir do eixo do cilindro:
. Para
, determine o módulo do campo elétrico para
.
Passo 1
Beleza, temos um cilindro longo e não condutor, de raio R = 4,0 cm, com densidade de carga que varia de acordo com a distância r ao eixo:
, onde
.
O que a gente quer é o campo elétrico a uma distância
cm do eixo.
Conteúdo: Lei de Gauss para cálculo de campo em distribuições com simetria cilíndrica.
O que vamos precisar:
• Entender a Lei de Gauss.
• Calcular a carga total “presa” dentro de um cilindro gaussiano de raio r.
• Resolver para .
O que a gente quer é o campo elétrico
Conteúdo: Lei de Gauss para cálculo de campo em distribuições com simetria cilíndrica.
O que vamos precisar:
• Entender a Lei de Gauss.
• Calcular a carga total “presa” dentro de um cilindro gaussiano de raio r.
• Resolver para
Passo 2
Primeiro, a teoria:
A Lei de Gauss diz que, para um cilindro imaginário de comprimento e raio
, alinhado com o eixo de simetria, temos
A Lei de Gauss diz que, para um cilindro imaginário de comprimento
Por simetria cilíndrica,
é radial e constante na superfície lateral, então
Passo 3
Agora, vamos achar
, a carga contida no cilindro gaussiano de raio
.
Densidade volumétrica: .
Em coordenadas cilíndricas, um “anelzinho” de espessura e comprimento
tem volume
.
Então
Densidade volumétrica:
Em coordenadas cilíndricas, um “anelzinho” de espessura
Então
Integrando:
logo
Passo 4
Voltando na Lei de Gauss:
Isolando
:
Passo 5
Bora pro número.
Dados:
,
,
.
Então
Dados:
Então