Um cilindro maciço, longo, não-condutor, com 4,0 cm de raio, possui uma densidade volumétrica de cargas não-uniforme rho que é função da distância radial r a partir do eixo do cilindro: rho=A r^2. Para A=2,5 mu C / m^3, determine o módulo do campo elétrico para r=5,0 cm.

Passo 1

Beleza, aí vai o resumão do enunciado: temos um cilindro maciço e não‐condutor de raio R = 4,0 cm, com densidade de carga que varia com a distância r ao eixo, valendo

e . Queremos achar o campo elétrico no ponto que está a ,cm do eixo.
Conteúdo: eletrostática, mais precisamente a Lei de Gauss em geometria cilíndrica.
O que vamos precisar:
  1. Entender a simetria cilíndrica e escolher uma superfície de Gauss que simplifique o cálculo.
  2. Calcular a carga total “encerrada” dentro dessa superfície (um integral da densidade).
  3. Aplicar a Lei de Gauss .

Passo 2

Teoria rapidinha da Lei de Gauss em cilindro:
Se o problema tem simetria cilíndrica (campo só depende de r, e sempre radial), a superfície de Gauss ideal é um cilindro de raio Phi = oint Ecdot dA = E(r);l(2pi,r,Lr) e comprimento E(r);2pi,r,L ;=;Qintvarepsilon0 .
  • O fluxo elétrico é
porque só a “lateral” contribui (as tampas ficam perpendiculares a E).
  • A Lei de Gauss manda

Passo 3

Agora, para Qint =integral0^Rrho(r),dV =integral0^RA,r^2;l(2pi r L,drr) =2pi A Lintegral0^Rr^3,dr =2pi A L;R^44 =pi,A,L,R^42 cm que é fora do cilindro (pois cm), é a carga total do cilindro de raio cm.
Calculemos:

Passo 4

Colocando E(r);2pi r L =pi A L R^4/2varepsilon0 Longrightarrow E(r) =pi A L R^42,varepsilon0;2pi r L =A,R^44,varepsilon0,r na Lei de Gauss:

Passo 5

Basta agora pôr os números (com E(0,05) =2,5times10^-6,(0,04)^44,(8,85times10^-12),(0,05) approx6,4times10^-121,77times10^-12 approx3,6;N/C m, m, C/m³, F/m):

Resposta

O módulo do campo elétrico a boxedEapprox3,6;N/C, cm é aproximadamente
direcionado radialmente para fora do cilindro.

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