Um líquido de densidade
e comprimento total
preenche um tubo em forma de U de área de seção transversal constante
. Nossa missão é encontrar a frequência natural de oscilação do líquido se ele for deslocado de sua posição de equilíbrio.
Aplicando o Algoritmo (com Fluidos)
- Passo 1 (Equilíbrio): Qual é a configuração de equilíbrio do líquido no tubo?
- Passo 2 (Perturbação): Deslocamos o nível do líquido em um dos braços para baixo por uma distância
. O que acontece com o nível no outro braço? Qual a diferença de altura total entre os dois níveis?
3. Passo 3 (Força Restauradora):
(a) A força que tenta restaurar o equilíbrio é o peso da coluna de líquido que está “extra” acima do nível do outro lado. Qual é a altura desta coluna?
(b) Calcule o peso desta coluna de líquido. Esta é a magnitude da força restauradora.
(c) Escreva a expressão para
em função de
, garantindo o sinal negativo. Qual é o
?
4. Passo 4 (Identificando
):
(a) Qual é a massa total de líquido que está oscilando? (A massa correspondente ao comprimento total
). Esta é a “inércia efetiva”,
, do sistema.
(b) Calcule o peso desta coluna de líquido. Esta é a magnitude da força restauradora.
(c) Escreva a expressão para
Passo 1
O enunciado dá um líquido de densidade
que preenche totalmente um tubo em forma de U, de área de seção transversal constante
e comprimento total do líquido
. A missão é encontrar a frequência natural de oscilação do líquido quando ele é deslocado da posição de equilíbrio.\n
Informações dadas:
— densidade do líquido;\n
— área da seção transversal (constante em todo o tubo);\n
— comprimento total do líquido ao longo do tubo (logo a massa total é
).\n
O que se pede (resumido):
Informações dadas:
O que se pede (resumido):
- Qual é a configuração de equilíbrio?\n
- Se deslocamos o nível em um braço por
, o que acontece no outro braço e qual é a diferença total de altura entre os níveis?\n - Determinar a altura da coluna “extra”, o peso dessa coluna (força restauradora em magnitude), escrever
com o sinal correto e identificar .\n - Calcular a massa total que oscila (inércia efetiva) e obter
e .\n
Passo 2
Volume e deslocamento (conservação de volume).\n
Quando eu empurro a superfície do líquido de um lado para baixo por (vou chamar essa variação positiva para baixo), o líquido deve deslocar-se pelo tubo de modo que o volume perdido em um lado seja ganho no outro, porque o tubo está fechado e a área
é constante. Isso significa que a variação de comprimento do líquido em um braço tem magnitude igual à variação no outro braço.\n
Escrevendo isso com matemática: o volume deslocado para baixo em um braço é . Esse mesmo volume aparece no outro braço, que sobe uma distância
tal que
. Portanto
em magnitude e, como sobe, tem sinal oposto ao deslocamento do primeiro braço.\n
Conclusão importante: se um braço desce , o outro sobe
. Logo a diferença de altura entre os níveis dos dois braços é
Quando eu empurro a superfície do líquido de um lado para baixo por
Escrevendo isso com matemática: o volume deslocado para baixo em um braço é
Conclusão importante: se um braço desce
Passo 3
(a) Altura da coluna “extra”.\n
Quando existe essa desigualdade de níveis, pode-se imaginar que há uma coluna efetiva de líquido de altura igual à diferença entre as superfícies, que é a responsável pela força que tenta restaurar o equilíbrio. Assim a altura dessa coluna é
Quando existe essa desigualdade de níveis, pode-se imaginar que há uma coluna efetiva de líquido de altura igual à diferença entre as superfícies, que é a responsável pela força que tenta restaurar o equilíbrio. Assim a altura dessa coluna é
(b) Peso da coluna de líquido (magnitude da força restauradora).\n
A massa dessa coluna é densidade vezes volume. O volume é área vezes altura
. Logo a massa da coluna é
. O peso (força gravitacional) é massa vezes
. Então a magnitude da força que tende a trazer de volta ao equilíbrio é
A massa dessa coluna é densidade vezes volume. O volume é área
Aqui eu usei a relação básica: peso
, onde
é a massa da porção de líquido considerada.
(c) Expressão para
com sinal negativo e
.\n
Para movimentos pequenos tratamos a força restauradora como proporcional ao deslocamento e apontando no sentido contrário. Usando como variável de deslocamento (positiva para baixo no braço considerado), a força restauradora é
Para movimentos pequenos tratamos a força restauradora como proporcional ao deslocamento e apontando no sentido contrário. Usando
Comparando com a forma de mola
, identificamos
Explicação do que isso significa: quanto maior a densidade
, a área
ou a gravidade
, maior a força que tenta restaurar um dado deslocamento
.
Passo 4
(a) Massa total que está oscilando — inércia efetiva.\n
Todo o líquido do tubo participa do movimento: quando um lado vai para baixo o líquido inteiro desloca-se pelo U. O comprimento total do líquido é , então o volume total é
e a massa total é
Todo o líquido do tubo participa do movimento: quando um lado vai para baixo o líquido inteiro desloca-se pelo U. O comprimento total do líquido é
Isto é a “massa” que aparece na lei de Newton para a oscilação.
(b) Equação de movimento e identificação de
e
.\n
A equação de movimento para deslocamentos pequenos é
A equação de movimento para deslocamentos pequenos é
Substituindo
e
, obtemos
Cancelando
(não nulos) chegamos a
Rearranjando na forma padrão
, concluímos
e portanto a frequência angular natural é
Observação pedagógica: o resultado é independente da área
e da densidade
— essas quantidades cancelam porque tanto a força restauradora quanto a inércia total são proporcionais a
. O que sobra é a dependência da gravidade e do comprimento total do líquido.
Resposta
Equilíbrio: níveis dos dois braços iguais.
Se um braço desce , o outro sobe
; diferença total de altura
.
Altura da coluna “extra”: .
Peso (magnitude da força restauradora): .
Força restauradora com sinal: .
Constante elástica efetiva: .
Massa (inércia) efetiva: .
.
.
Se um braço desce
Altura da coluna “extra”:
Peso (magnitude da força restauradora):
Força restauradora com sinal:
Constante elástica efetiva:
Massa (inércia) efetiva: