Um líquido de densidade \rho e comprimento total L preenche um tubo em forma de U de área de seção transversal constante A. Nossa missão é encontrar a frequência natural de oscilação do líquido se ele for deslocado de sua posição de equilíbrio.

Aplicando o Algoritmo (com Fluidos)

  1. Passo 1 (Equilíbrio): Qual é a configuração de equilíbrio do líquido no tubo?
  2. Passo 2 (Perturbação): Deslocamos o nível do líquido em um dos braços para baixo por uma distância \delta y. O que acontece com o nível no outro braço? Qual a diferença de altura total entre os dois níveis?

3. Passo 3 (Força Restauradora):

(a) A força que tenta restaurar o equilíbrio é o peso da coluna de líquido que está “extra” acima do nível do outro lado. Qual é a altura desta coluna?
(b) Calcule o peso desta coluna de líquido. Esta é a magnitude da força restauradora.
(c) Escreva a expressão para F_{\text {res }} em função de \delta y, garantindo o sinal negativo. Qual é o k_{\text {efetivo }} ?

4. Passo 4 (Identificando \omega^{2} ):

(a) Qual é a massa total de líquido que está oscilando? (A massa correspondente ao comprimento total L ). Esta é a “inércia efetiva”, m_{\text {efetivo }}, do sistema.

Passo 1

O enunciado dá um líquido de densidade \rho que preenche totalmente um tubo em forma de U, de área de seção transversal constante A e comprimento total do líquido L. A missão é encontrar a frequência natural de oscilação do líquido quando ele é deslocado da posição de equilíbrio.\n
Informações dadas:
\rho — densidade do líquido;\n
A — área da seção transversal (constante em todo o tubo);\n
L — comprimento total do líquido ao longo do tubo (logo a massa total é \rho A L).\n
O que se pede (resumido):
  • Qual é a configuração de equilíbrio?\n
  • Se deslocamos o nível em um braço por \delta y, o que acontece no outro braço e qual é a diferença total de altura entre os níveis?\n
  • Determinar a altura da coluna “extra”, o peso dessa coluna (força restauradora em magnitude), escrever F_{\text{res}} com o sinal correto e identificar k_{\text{efetivo}}.\n
  • Calcular a massa total que oscila (inércia efetiva) e obter \omega^2 e \omega.\n

Passo 2

Volume e deslocamento (conservação de volume).\n
Quando eu empurro a superfície do líquido de um lado para baixo por \delta y (vou chamar essa variação positiva para baixo), o líquido deve deslocar-se pelo tubo de modo que o volume perdido em um lado seja ganho no outro, porque o tubo está fechado e a área A é constante. Isso significa que a variação de comprimento do líquido em um braço tem magnitude igual à variação no outro braço.\n
Escrevendo isso com matemática: o volume deslocado para baixo em um braço é A\delta y. Esse mesmo volume aparece no outro braço, que sobe uma distância \delta y' tal que A\delta y = A\delta y'. Portanto \delta y'=\delta y em magnitude e, como sobe, tem sinal oposto ao deslocamento do primeiro braço.\n
Conclusão importante: se um braço desce \delta y, o outro sobe \delta y. Logo a diferença de altura entre os níveis dos dois braços é
\text{diferença} = 2\delta y.ç

Passo 3

(a) Altura da coluna “extra”.\n
Quando existe essa desigualdade de níveis, pode-se imaginar que há uma coluna efetiva de líquido de altura igual à diferença entre as superfícies, que é a responsável pela força que tenta restaurar o equilíbrio. Assim a altura dessa coluna é
\text{altura extra} = 2\delta y.
(b) Peso da coluna de líquido (magnitude da força restauradora).\n
A massa dessa coluna é densidade vezes volume. O volume é área A vezes altura 2\delta y. Logo a massa da coluna é \rho A (2\delta y). O peso (força gravitacional) é massa vezes g. Então a magnitude da força que tende a trazer de volta ao equilíbrio é
\text{peso} = \rho A (2\delta y)\, g = 2\rho A g\, \delta y.
Aqui eu usei a relação básica: peso = m g, onde m é a massa da porção de líquido considerada.
(c) Expressão para F_{\text{res}} com sinal negativo e k_{\text{efetivo}}.\n
Para movimentos pequenos tratamos a força restauradora como proporcional ao deslocamento e apontando no sentido contrário. Usando \delta y como variável de deslocamento (positiva para baixo no braço considerado), a força restauradora é
F_{\text{res}} = -\,2\rho A g\, \delta y.
Comparando com a forma de mola F=-k_{\text{efetivo}} x, identificamos
k_{\text{efetivo}} = 2\rho A g.
Explicação do que isso significa: quanto maior a densidade \rho, a área A ou a gravidade g, maior a força que tenta restaurar um dado deslocamento \delta y.

Passo 4

(a) Massa total que está oscilando — inércia efetiva.\n
Todo o líquido do tubo participa do movimento: quando um lado vai para baixo o líquido inteiro desloca-se pelo U. O comprimento total do líquido é L, então o volume total é A L e a massa total é
m_{\text{efetivo}} = \rho A L.
Isto é a “massa” que aparece na lei de Newton para a oscilação.
(b) Equação de movimento e identificação de \omega^2 e \omega.\n
A equação de movimento para deslocamentos pequenos é
m_{\text{efetivo}}\;\ddot{\delta y} = F_{\text{res}}.
Substituindo m_{\text{efetivo}}=\rho A L e F_{\text{res}}=-2\rho A g\,\delta y, obtemos
\rho A L\;\ddot{\delta y} = -2\rho A g\,\delta y.
Cancelando \rho A (não nulos) chegamos a
L\;\ddot{\delta y} = -2 g\,\delta y.
Rearranjando na forma padrão \ddot{\delta y} + \omega^2 \delta y = 0, concluímos
\omega^2 = \frac{2g}{L}
e portanto a frequência angular natural é
\omega = \sqrt{\frac{2g}{L}}.
Observação pedagógica: o resultado é independente da área A e da densidade \rho — essas quantidades cancelam porque tanto a força restauradora quanto a inércia total são proporcionais a \rho A. O que sobra é a dependência da gravidade e do comprimento total do líquido.

Resposta

Equilíbrio: níveis dos dois braços iguais.
Se um braço desce \delta y, o outro sobe \delta y; diferença total de altura 2\delta y.
Altura da coluna “extra”: 2\delta y.
Peso (magnitude da força restauradora): 2\rho A g\,\delta y.
Força restauradora com sinal: F_{\text{res}} = -2\rho A g\,\delta y.
Constante elástica efetiva: k_{\text{efetivo}} = 2\rho A g.
Massa (inércia) efetiva: m_{\text{efetivo}} = \rho A L.
\omega^{2} = \dfrac{2g}{L}.
\omega = \sqrt{\dfrac{2g}{L}}.

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