Um pistão de massa m e área A veda um cilindro de comprimento L que contém um gás ideal. O sistema está em equilíbrio com a pressão externa P_{0}. Assumindo que as oscilações são rápidas (processo adiabático, P V^{\gamma}= constante), encontre a frequência natural de oscilação do pistão.

Aplicando o Algoritmo (com Termodinâmica)

  1. Passo 1 (Equilíbrio): No equilíbrio, a pressão interna do gás, P_{0}, balanceia a pressão externa. O volume é V_{0}=A L.
  2. Passo 2 (Perturbação): Deslocamos o pistão para dentro por uma pequena distância \delta x.

3. Passo 3 (Força Restauradora):

(a) O novo volume é V=A(L-\delta x)=V_{0}(1-\delta x / L). A nova pressão é P. Use a relação adiabática P_{0} V_{0}^{\gamma}=P V^{\gamma} para encontrar P em função de P_{0} e \delta x.
(b) Use a aproximação binomial (1-\epsilon)^{n} \approx 1-n \epsilon para \epsilon pequeno, para simplificar sua expressão para P.
(c) A força resultante no pistão é F_{\text {res }}=\left(P-P_{0}\right) A. Mostre que, para pequenas perturbações, esta força é linear e restauradora, F_{\text {res }} \approx-k_{\text {efetivo }} \cdot \delta x. Identifique o k_{\text {efetivo }} do “gás-mola”.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos deu.
  • Pedido: encontrar a frequência natural de oscilação do pistão (ou seja, a frequência da oscilação livre small-amplitude do pistão que fecha o cilindro).
  • Dados fornecidos: \text{massa do pistão } = m,ã
\text{área do pistão } = A,áã
\text{comprimento (posição de equilíbrio) do cilindro } = L,çãí
\text{pressão externa (e, em equilíbrio, também interna) } = P_{0},ãíé
\text{o gás é ideal e as oscilações são rápidas (processo adiabático) com }P V^{\gamma}=\text{const.}áéçõãáá
  • Informação adicional que uso: volume de equilíbrio do gás é V_{0}=A L.
  • Situação de perturbação: deslocamos o pistão para dentro por uma pequena distância \delta x (pequena o suficiente para linearizar). A partir disso precisamos:
    1. achar a nova pressão interna P em função de \delta x usando a relação adiabática;
    2. aproximar para pequenas \delta x (usar binomial);
    3. encontrar a força resultante F_{\text{res}} e mostrar que é linear e restauradora, identificando k_{\text{efetivo}};
    4. escrever a equação de movimento e extrair a frequência natural \omega.

Passo 2

Entendendo a relação adiabática e como aplicá‑la ao pequeno deslocamento.
  • O que é o processo adiabático aqui: como as oscilações são rápidas, não dá tempo para o gás trocar calor com o ambiente — assim, durante a variação a relação P V^{\gamma}=\text{constante}vale. Aqui \gamma é a razão de capacidades térmicas do gás ( \gamma=C_{p}/C_{v}); é um número fixo (>1) que depende do gás (por exemplo, \gamma=5/3 para gás monoatômico ideal, \gamma=7/5 para diatômico).
  • Depois do deslocamento \delta x para dentro, o novo volume do gás é V = A(L-\delta x) = V_{0}\left(1-\frac{\delta x}{L}\right).
  • Aplicando P V^{\gamma} = P_{0} V_{0}^{\gamma}, isolamos P: P = P_{0}\left(\frac{V_{0}}{V}\right)^{\gamma} = P_{0}\left(1-\frac{\delta x}{L}\right)^{-\gamma}.
  • Observação de sinal: como deslocamos o pistão para dentro por uma distância positiva \delta x>0, então V diminui e P aumenta (isso gera força restauradora).

Passo 3

Aproximação para pequenas perturbações: desenvolver via binomial.
  • Lembrete do binomial linearizado: para |\epsilon|\ll 1 e qualquer expoente real n, (1+\epsilon)^{n}\approx 1 + n\epsilon.Aqui usamos porque \delta x/L é pequeno.
  • No nosso caso temos (1-\delta x/L)^{-\gamma}. Tomando \epsilon = -\delta x/L e n=-\gamma ou simplesmente usando a identidade direta, \left(1-\frac{\delta x}{L}\right)^{-\gamma} \approx 1 + \gamma\frac{\delta x}{L},pois o termo linear vem com sinal +\gamma\delta x/L (porque o volume diminui).
  • Assim, para pequenas \delta x, P \approx P_{0}\left(1 + \gamma\frac{\delta x}{L}\right).

Passo 4

Cálculo da força resultante e identificação da constante elástica efetiva.
  • A força do gás sobre o pistão é P multiplicada pela área A. A força externa equivalente (fora do gás) é P_{0}A. A força resultante sobre o pistão devido à diferença de pressão é F_{\text{res}} = (P - P_{0})A.
  • Substituindo a expansão obtida: F_{\text{res}} \approx \bigg(P_{0}\Big(1 + \gamma\frac{\delta x}{L}\Big) - P_{0}\bigg)A = P_{0}\gamma\frac{\delta x}{L}\,A.
  • Interpretação de sinal/restauração: no enunciado \delta x foi definido como deslocamento para dentro (positivo para entrada). Quando \delta x>0 obtemos F_{\text{res}}>0 nesta expressão se tomarmos a direção positiva como para dentro; mas essa força é dirigida para fora (ou seja, oposta ao deslocamento), portanto, escrevendo a força restauradora como oposta ao deslocamento: F_{\text{res}} = -k_{\text{efetivo}}\,\delta x,com k_{\text{efetivo}} = \gamma\frac{P_{0}A}{L}.
  • Observação de forma equivalente usando V_{0}=A L: k_{\text{efetivo}}=\gamma\frac{P_{0}A^{2}}{V_{0}}.

Passo 5

Equação de movimento e obtenção da frequência natural.
  • A equação de movimento (segunda lei de Newton) para o pistão, tomando a convenção que o deslocamento \delta x é medido positivamente para dentro, é m\frac{d^{2}\delta x}{dt^{2}} = F_{\text{res}} = -k_{\text{efetivo}}\,\delta x.
  • Isso é a equação do oscilador harmônico simples. A frequência angular natural \omega satisfaz \omega^{2} = \frac{k_{\text{efetivo}}}{m}.
  • Substituindo k_{\text{efetivo}}=\gamma P_{0}A/L, \omega = \sqrt{\frac{\gamma P_{0} A}{m L}}.
  • Forma alternativa, usando V_{0}=A L: \omega = \sqrt{\frac{\gamma P_{0} A^{2}}{m V_{0}}}.

Resposta

k_{\text{efetivo}}=\gamma\displaystyle\frac{P_{0}A}{L}=\gamma\displaystyle\frac{P_{0}A^{2}}{V_{0}}\n
\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{\gamma P_{0}A}{mL}}=\sqrt{\frac{\gamma P_{0}A^{2}}{mV_{0}}}

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