Um pistão de massa
e área
veda um cilindro de comprimento
que contém um gás ideal. O sistema está em equilíbrio com a pressão externa
. Assumindo que as oscilações são rápidas (processo adiabático,
constante), encontre a frequência natural de oscilação do pistão.
Aplicando o Algoritmo (com Termodinâmica)
- Passo 1 (Equilíbrio): No equilíbrio, a pressão interna do gás,
, balanceia a pressão externa. O volume é
.
- Passo 2 (Perturbação): Deslocamos o pistão para dentro por uma pequena distância
.
3. Passo 3 (Força Restauradora):
(a) O novo volume é
. A nova pressão é
. Use a relação adiabática
para encontrar
em função de
e
.
(b) Use a aproximação binomial
para
pequeno, para simplificar sua expressão para
.
(c) A força resultante no pistão é
. Mostre que, para pequenas perturbações, esta força é linear e restauradora,
. Identifique o
do “gás-mola”.
(b) Use a aproximação binomial
(c) A força resultante no pistão é
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos deu.
- Pedido: encontrar a frequência natural de oscilação do pistão (ou seja, a frequência da oscilação livre small-amplitude do pistão que fecha o cilindro).
- Dados fornecidos:
- Informação adicional que uso: volume de equilíbrio do gás é
- Situação de perturbação: deslocamos o pistão para dentro por uma pequena distância
(pequena o suficiente para linearizar). A partir disso precisamos: - achar a nova pressão interna
em função de usando a relação adiabática; - aproximar para pequenas
(usar binomial); - encontrar a força resultante
e mostrar que é linear e restauradora, identificando ; - escrever a equação de movimento e extrair a frequência natural
.
- achar a nova pressão interna
Passo 2
Entendendo a relação adiabática e como aplicá‑la ao pequeno deslocamento.
- O que é o processo adiabático aqui: como as oscilações são rápidas, não dá tempo para o gás trocar calor com o ambiente — assim, durante a variação a relação
vale. Aqui é a razão de capacidades térmicas do gás ( ); é um número fixo (>1) que depende do gás (por exemplo, para gás monoatômico ideal, para diatômico). - Depois do deslocamento
para dentro, o novo volume do gás é - Aplicando
, isolamos : - Observação de sinal: como deslocamos o pistão para dentro por uma distância positiva
, então diminui e aumenta (isso gera força restauradora).
Passo 3
Aproximação para pequenas perturbações: desenvolver via binomial.
- Lembrete do binomial linearizado: para
e qualquer expoente real , Aqui usamos porque é pequeno. - No nosso caso temos
. Tomando e ou simplesmente usando a identidade direta, pois o termo linear vem com sinal (porque o volume diminui). - Assim, para pequenas
,
Passo 4
Cálculo da força resultante e identificação da constante elástica efetiva.
- A força do gás sobre o pistão é
multiplicada pela área . A força externa equivalente (fora do gás) é . A força resultante sobre o pistão devido à diferença de pressão é - Substituindo a expansão obtida:
- Interpretação de sinal/restauração: no enunciado
foi definido como deslocamento para dentro (positivo para entrada). Quando obtemos nesta expressão se tomarmos a direção positiva como para dentro; mas essa força é dirigida para fora (ou seja, oposta ao deslocamento), portanto, escrevendo a força restauradora como oposta ao deslocamento: com - Observação de forma equivalente usando
:
Passo 5
Equação de movimento e obtenção da frequência natural.
- A equação de movimento (segunda lei de Newton) para o pistão, tomando a convenção que o deslocamento
é medido positivamente para dentro, é - Isso é a equação do oscilador harmônico simples. A frequência angular natural
satisfaz - Substituindo
, - Forma alternativa, usando
: