Um cilindro maciço de raio R, altura H, carga Q e densidade de carga volumétrica rho0 tem uma de suas bases fixada no plano xy e seu eixo de simetria coincide com o eixo z. Mostre que a força elétrica que este cilindro exerce sobre uma carga q, fixada na posição p=(0,0, z), é dado por:
F=rho0 q2 epsilon0[H+raizR^2+(z-H)^2-raizR^2+z^2] k

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico (e portanto a força) sobre uma carga q situada no eixo de um cilindro maciço de raio R, altura H e densidade volumétrica rho0. O eixo do cilindro coincide com o eixo z e a base inferior está em z=0. Vamos usar o princípio da superposição, decompondo o cilindro em discos de espessura infinitesimal, e lembrar o resultado do campo de um disco uniforme no seu eixo.

Passo 2

Imagine o cilindro como uma pilha de discos paralelos ao plano xy, cada um em altura z' e de espessura dz'. A densidade superficial desse disco é
sigma = rho0,dz'
Cada um desses discos gera, no ponto z do eixo, um campo infinitesimal dEz na direção k.

Passo 3

O campo de um disco de raio R e densidade superficial sigma, na distância u ao longo do seu eixo, vale
Erm disco(u)=sigma2varepsilon0l(1-uraizR^2+u^2r)
direcionado para fora do disco se sigma>0. Aqui, para o disco em z', a distância do ponto até o disco é u=z-z', e sigma=rho0,dz'.

Passo 4

Pelo princípio da superposição, o campo total no ponto z é
Ez =integralz'=0^HdEz =integral0^Hrho0,dz'2varepsilon0l(1-z-z'raizR^2+(z-z')^2r)
Separe a integral em duas partes:
Ez =rho02varepsilon0l[integral0^H1,dz' -integral0^Hz-z'raizR^2+(z-z')^2,dz'r]

Passo 5

Calcule cada termo:
integral0^H1,dz' = H,
e para a segunda integral faça a mudança de variável u=z-z', logo du=-dz' e quando z'=0 temos u=z, quando z'=H temos u=z-H. Assim
integral0^Hz-z'raizR^2+(z-z')^2,dz' =integralu=z^u=z-HuraizR^2+u^2(-du) =integralz-H^zuraizR^2+u^2,du
E reconhecemos
integraluraizR^2+u^2,du =raizR^2+u^2
Logo
integralz-H^zuraizR^2+u^2,du =raizR^2+z^2-raizR^2+(z-H)^2
Substituindo de volta em Ez
Ez =rho02varepsilon0l[H -l(raizR^2+z^2-raizR^2+(z-H)^2r)r] =rho02varepsilon0l[H +raizR^2+(z-H)^2-raizR^2+z^2r]

Passo 6

A força sobre a carga q é simplesmente vec F=q,vec E, na direção hat k. Portanto
F =rho0,q2varepsilon0 l[,H+raizR^2+(z-H)^2-raizR^2+z^2r]k

Resposta

boxed F =rho0,q2varepsilon0 l[H+raizR^2+(z-H)^2-raizR^2+z^2r]k

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