Um cilindro maciço de raio
, altura
, carga
e densidade de carga volumétrica
tem uma de suas bases fixada no plano xy e seu eixo de simetria coincide com o eixo
. Mostre que a força elétrica que este cilindro exerce sobre uma carga
, fixada na posição
, é dado por:
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico (e portanto a força) sobre uma carga
situada no eixo de um cilindro maciço de raio
, altura
e densidade volumétrica
. O eixo do cilindro coincide com o eixo
e a base inferior está em
. Vamos usar o princípio da superposição, decompondo o cilindro em discos de espessura infinitesimal, e lembrar o resultado do campo de um disco uniforme no seu eixo.
Passo 2
Imagine o cilindro como uma pilha de discos paralelos ao plano
, cada um em altura
e de espessura
. A densidade superficial desse disco é
Cada um desses discos gera, no ponto
do eixo, um campo infinitesimal
na direção
.
Passo 3
O campo de um disco de raio
e densidade superficial
, na distância
ao longo do seu eixo, vale
direcionado para fora do disco se
. Aqui, para o disco em
, a distância do ponto até o disco é
, e
.
Passo 4
Pelo princípio da superposição, o campo total no ponto
é
Separe a integral em duas partes:
Passo 5
Calcule cada termo:
e para a segunda integral faça a mudança de variável
, logo
e quando
temos
, quando
temos
. Assim
E reconhecemos
Logo
Substituindo de volta em
dá
Passo 6
A força sobre a carga
é simplesmente
, na direção
. Portanto