Um cilindro maciço de raio a, comprimento L e uniformemente carregado em todo seu volume com uma densidade de carga \rho, esta envolto por uma camada cilíndrica condutora de raio interno b e raio externo c inicialmente carregada com uma carga negativa.
a) Considerando que o módulo do campo elétrico logo acima da superfície externa da camada condutora é o dobro do módulo do campo elétrico em r=a, encontre a carga đa camada condutora.
b) Encontre o campo elétrico para todos os pontos do espaço;
c) Esboce o gráfico da intensidade do campo elétrico como função da distância ao eixo central da distribuição.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema com simetria cilíndrica:
– Um cilindro maciço de raio a, comprimento L e densidade volumétrica de carga \rho.
– Uma casca condutora coaxial, de raio interno b e raio externo c, com carga livre total Q_{\rm cond} a determinar.
Conteúdo a usar: Lei de Gauss em simetria cilíndrica e condição de descontinuidade do campo na superfície externa da casca.

Passo 2

Calculemos o campo logo fora de r=a (região onde só existe o cilindro maciço) e logo fora de r=c (região externa à casca), e a condição dada:
  1. Para r>a e r<b, a carga encerrada numa superfície cilíndrica de raio r é
Q_{\rm enc}(r)=\rho\,\pi\,a^2\,L,
então
E(a^+)=\frac{Q_{\rm enc}(a)}{2\pi\,\varepsilon_0\,a\,L} =\frac{\rho\,\pi\,a^2\,L}{2\pi\,\varepsilon_0\,a\,L} =\frac{\rho\,a}{2\varepsilon_0}.
  1. Para r>c, a carga encerrada é a soma do cilindro maciço mais a carga livre da casca Q_{\rm cond}, logo
E(c^+)=\frac{\rho\,\pi\,a^2\,L+Q_{\rm cond}} {2\pi\,\varepsilon_0\,c\,L}.
A condição do enunciado é
\bigl|E(c^+)\bigr| \;=\;2\,\bigl|E(a^+)\bigr|.
Substituindo:
\frac{\rho\,\pi\,a^2\,L+Q_{\rm cond}} {2\pi\,\varepsilon_0\,c\,L} =2\;\frac{\rho\,a}{2\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \rho\,\pi\,a^2\,L+Q_{\rm cond} =2\pi\,c\,L\,\rho\,a
\Longrightarrow\quad Q_{\rm cond} =2\pi\,c\,L\,\rho\,a -\rho\,\pi\,a^2\,L =\rho\,\pi\,L\,(2\,a\,c - a^2).

Passo 3

Agora achamos E(r) em cada região usando Gauss:
Para um cilindro de raio r e comprimento L,
E(r)\,2\pi\,r\,L = \frac{Q_{\rm enc}(r)}{\varepsilon_0}.
  1. 0\le r<a:
    Q_{\rm enc}(r)=\rho\,\pi\,r^2\,L,
E(r)=\frac{\rho\,\pi\,r^2\,L}{2\pi\,r\,L\,\varepsilon_0} =\frac{\rho\,r}{2\,\varepsilon_0}.
  1. a<r<b:
    Q_{\rm enc}(r)=\rho\,\pi\,a^2\,L,
E(r)=\frac{\rho\,\pi\,a^2\,L}{2\pi\,r\,L\,\varepsilon_0} =\frac{\rho\,a^2}{2\,\varepsilon_0\,r}.
  1. b<r<c (dentro do condutor):
E(r)=0.
  1. r>c:
    Q_{\rm enc}(r)=\rho\,\pi\,a^2\,L + Q_{\rm cond} =\rho\,\pi\,a^2\,L + \rho\,\pi\,L\,(2ac - a^2),
    mas simplifica-se diretamente dando
    \rho\,\pi\,L\,(2ac).
    Então
E(r)=\frac{\rho\,\pi\,L\,(2\,a\,c)}{2\pi\,r\,L\,\varepsilon_0} =\frac{\rho\,a\,c}{\varepsilon_0\,r}.

Passo 4

Gráfico qualitativo de \bigl|E(r)\bigr| versus r:
– Para 0\le r\le a, cresce linearmente: E\propto r.
– Para a<r<b, decai como 1/r.
– Para b<r<c, é zero.
– Para r>c, decai novamente como 1/r, com amplitude maior do que em a<r<b.

Resposta

a) Q_{\rm cond}=\rho\,\pi\,L\,(2\,a\,c - a^2).\) b) \[E(r)= \begin{cases} \dfrac{\rho\,r}{2\varepsilon_0}, & 0\le r<a,\\[6pt] \dfrac{\rho\,a^2}{2\varepsilon_0\,r}, & a<r<b,\\[4pt] 0, & b<r<c,\\[4pt] \dfrac{\rho\,a\,c}{\varepsilon_0\,r}, & r>c. \end{cases}
c) Gráfico: linear em 0\le r\le a\], decaindo como \(1/r para a<r<b, zero em b<r<c, e decaindo como 1/r para r>c.]

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