Problema 1.2 Calcule a aceleração devido à gravidade dentro da Terra como uma função da distância radial r do centro do planeta. Presumir que a densidade do planeta varia como 1 / r. (Dica: imagine que um poço de mina foi perfurado da superfície ao centro da Terra e um objeto de massa m foi jogado no poço para alguma posição radial
r<R_{E} do centro, onde R_{E} é o raio da Terra. Qual é a soma vetorial das forças exercidas sobre o objeto por toda a massa da Terra que se encontra a qualquer distância d>r do centro? E para d<r do centro?) ATENÇÃO - O gabarito do Mazur para este problema está ERRADO. Procure o/a professor/a, PED ou monitor/a para saber a resposta certa.

Passo 1

O enunciado pede a aceleração gravitacional \mathbf{g}(r) dentro da Terra, em função da distância radial r ao centro, supondo densidade variável como
\rho(r)=\frac{k}{r}.
Vamos usar a lei de Newton da gravitação e o teorema do casca esférica (shell theorem), que diz que somente a massa interna a r contribui para \mathbf{g}(r) e que cascas externas a r têm força resultante zero.

Passo 2

Primeiro encontramos a constante k impondo que a massa total da Terra seja
M_E=\int_{0}^{R_E}4\pi r'^2\,\rho(r')\,dr' =\int_{0}^{R_E}4\pi r'^2\frac{k}{r'}\,dr' =4\pi k\int_{0}^{R_E}r'\,dr' =2\pi k\,R_E^2.
Logo,
k=\frac{M_E}{2\pi R_E^2}.

Passo 3

Em seguida calculamos a massa interna a um raio r<R_E:
M(r)=\int_{0}^{r}4\pi r'^2\,\rho(r')\,dr' =4\pi k\int_{0}^{r}r'\,dr' =2\pi k\,r^2.

Passo 4

A aceleração gravitacional em módulo é
g(r)=\frac{G\,M(r)}{r^2} =\frac{G\,(2\pi k\,r^2)}{r^2} =2\pi G\,k,
e o vetor \mathbf{g}(r) aponta radialmente para o centro.

Passo 5

Substituindo k=\dfrac{M_E}{2\pi R_E^2} obtemos
g(r)=2\pi G\,\frac{M_E}{2\pi R_E^2} =\frac{G\,M_E}{R_E^2}.
Portanto, \mathbf{g}(r) é constante para r<R_E e igual à aceleração de superfície, apontando para o centro.

Resposta

\boxed{\mathbf{g}(r) = -\frac{G\,M_E}{R_E^2}\,\hat{\mathbf{r}},\quad\text{para }0\le r\le R_E.}

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