Problema 1.2 Calcule a aceleração devido à gravidade dentro da Terra como uma função da distância radial
do centro do planeta. Presumir que a densidade do planeta varia como
. (Dica: imagine que um poço de mina foi perfurado da superfície ao centro da Terra e um objeto de massa
foi jogado no poço para alguma posição radial
do centro, onde
é o raio da Terra. Qual é a soma vetorial das forças exercidas sobre o objeto por toda a massa da Terra que se encontra a qualquer distância
do centro? E para
do centro?) ATENÇÃO - O gabarito do Mazur para este problema está ERRADO. Procure o/a professor/a, PED ou monitor/a para saber a resposta certa.
Passo 1
O enunciado pede a aceleração gravitacional
dentro da Terra, em função da distância radial
ao centro, supondo densidade variável como
Vamos usar a lei de Newton da gravitação e o teorema do casca esférica (shell theorem), que diz que somente a massa interna a
contribui para
e que cascas externas a
têm força resultante zero.
Passo 2
Primeiro encontramos a constante
impondo que a massa total da Terra seja
Logo,
Passo 3
Em seguida calculamos a massa interna a um raio
:
Passo 4
A aceleração gravitacional em módulo é
e o vetor
aponta radialmente para o centro.
Passo 5
Substituindo
obtemos
Portanto,
é constante para
e igual à aceleração de superfície, apontando para o centro.