(Problema 2, cap. 1, Termodinâmica, M. J. de Oliveira) Um gás percorre o processo descrito no exercício anterior e em seguida sofre uma compressão isocórica até um estado final C cuja pressão é p_{0}, a mesma do estado A. Nesse processo ele recebe uma quantidade de calor Q_{B \rightarrow C}. Suponha agora que o gás sofra um processo isobárico de A até C. Qual a quantidade de calor Q_{A \rightarrow C} recebida nesse processo em função de p_{0}, V_{0} e Q_{B \rightarrow C} ?

Passo 1

O enunciado nos diz que o gás parte do estado
A:\;(p_{A},V_{A})=(p_{0},V_{0})
sofre um processo qualquer até um estado
B:\;(p_{B},V_{B})
e, em seguida, sofre uma transformação isocórica (volume constante V_{B}) até o estado
C:\;(p_{C},V_{C})=(p_{0},V_{B})
recebendo calor Q_{B\to C}. Agora queremos calcular o calor Q_{A\to C} se, em vez disso, o gás for levado diretamente de A a C por uma transformação isobárica a pressão p_{0}. Usaremos:
  1. Para um gás ideal, \Delta U = n\,C_{V}\,\Delta T.
  2. No isocórico, W=0 e Q_{B\to C}=n\,C_{V}\,(T_{C}-T_{B}).
  3. No isobárico, W=p_{0}\,(V_{C}-V_{A}) e Q_{A\to C}=\Delta U+W=n\,C_{V}\,(T_{C}-T_{A})+p_{0}(V_{C}-V_{A}).

Passo 2

Como A\to B foi isoterma a T_{A}=T_{B}, temos
T_{B}=T_{A} \quad\Longrightarrow\quad T_{C}-T_{B}=T_{C}-T_{A}.
Logo, do isocórico
Q_{B\to C} =n\,C_{V}\,(T_{C}-T_{B}) =n\,C_{V}\,(T_{C}-T_{A}).

Passo 3

Agora, na transformação isobárica A\to C, a quantidade de calor é
Q_{A\to C} =\Delta U+W =n\,C_{V}\,(T_{C}-T_{A})+p_{0}(V_{C}-V_{A}).
Mas, pelo gás ideal,
p_{0}(V_{C}-V_{A}) =n\,R\,(T_{C}-T_{A}),
de modo que
Q_{A\to C} =n\,C_{V}\,(T_{C}-T_{A})+n\,R\,(T_{C}-T_{A}) =n\,(C_{V}+R)\,(T_{C}-T_{A}) =n\,C_{P}\,(T_{C}-T_{A}).

Passo 4

Comparando com o resultado do isocórico, em que
Q_{B\to C} =n\,C_{V}\,(T_{C}-T_{A}),
vemos que
Q_{A\to C} =n\,C_{P}\,(T_{C}-T_{A}) =\frac{C_{P}}{C_{V}}\;n\,C_{V}\,(T_{C}-T_{A}) =\gamma\,Q_{B\to C},
onde \gamma=C_{P}/C_{V}.

Resposta

Q_{A\to C}=\gamma\,Q_{B\to C}.

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