Duas cascas cilíndricas longas, carregadas, coaxiais, de paredes finas, têm 3,0 e 6,0 m de raio. A carga por unidade de comprimento é 5,0×10−6 C/m para a casca interna e −7,0×10−6 C/m na casca externa. Determine o módulo 𝐸 do campo elétrico a uma distância radial 𝑟=4,0 cm .
Passo 1
Resumo do enunciado: temos duas cascas cilíndricas coaxiais, de raios 3,0 cm (interna) e 6,0 cm (externa), com densidades lineares de carga
(interna) e
(externa). Queremos o campo elétrico no ponto que está a
do eixo.
Conteúdo da matéria: Lei de Gauss para simetria cilíndrica.
O que vamos precisar: – Definir superfície gaussiana cilíndrica, – Lei de Gauss , – Cálculo da carga total dentro da superfície.
Conteúdo da matéria: Lei de Gauss para simetria cilíndrica.
O que vamos precisar: – Definir superfície gaussiana cilíndrica, – Lei de Gauss
Passo 2
Escolhendo a superfície Gaussiana:
Para um cilindro infinito, escolhemos um cilindro coaxial de raio e comprimento
.
Pela simetria, é radial e de mesma magnitude em toda a superfície lateral.
A Lei de Gauss diz:
Para um cilindro infinito, escolhemos um cilindro coaxial de raio
Pela simetria,
A Lei de Gauss diz:
Logo,
onde
é a carga por unidade de comprimento dentro de
.
Passo 3
Determinar
:
Como está entre as duas cascas, só a casca interna contribui para a carga dentro da superfície.
Logo,
Como
Logo,
Passo 4
Substituindo na expressão de
:
Aqui usamos
e
.