(2,0 pontos) - (a) Encontre uma expressão para o potencial elétrico em um ponto localizado a uma altura
em relação ao centro de um anel de raio R , homogeneamente carregado. (b) Calcule o campo elétrico do mesmo problema a partir do gradiente do potencial e compare com o resultado encontrado via integração direta (os resultados são equivalente? Ou não?).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede pra gente achar o potencial elétrico em um ponto a uma altura $ z $ em relação ao centro de um anel de raio $ R $ que está carregado de forma homogênea. Além disso, precisamos calcular o campo elétrico a partir desse potencial e comparar com o resultado que obteríamos fazendo a integração diretamente.
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de eletrostática, como potencial elétrico, campo elétrico e como eles se relacionam. Também vamos usar algumas fórmulas de cálculo para integrar as contribuições das cargas no anel.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que é o potencial elétrico. O potencial elétrico em um ponto devido a uma carga é uma medida de quanta energia você precisaria para trazer uma carga de teste até esse ponto. Para distribuir a carga em um anel, vamos considerar que a carga está uniformemente distribuída ao longo do anel.
Vamos chamar a carga total do anel de $ Q $. A carga por unidade de comprimento no anel será então $ \lambda = \frac{Q}{2\pi R} $, já que o comprimento do anel é $ 2\pi R $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o potencial elétrico $ V $ no ponto a uma altura $ z $. Para isso, consideramos um elemento infinitesimal de carga $ dq $ no anel. A distância desse elemento até o ponto $ P $ onde queremos calcular o potencial é dada pela fórmula do teorema de Pitágoras:
O potencial elétrico devido a esse elemento de carga $ dq $ é:
Passo 4
Para encontrar o potencial total $ V $, integramos $ dV $ ao longo de todo o anel. Como $ d $ é constante para todo o anel (a distância do ponto $ P $ até qualquer ponto do anel é sempre $ \sqrt{R^2 + z^2} $), a integral fica mais simples:
Sabemos que $ \int dq = Q $, então:
Passo 5
Então, chegamos à expressão para o potencial elétrico no ponto a uma altura $ z $:
Esse é o resultado da parte (a).
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos encontrar o campo elétrico $ \mathbf{E} $ a partir do gradiente do potencial. Em coordenadas cartesianas, o campo elétrico é dado por:
No nosso caso, como o potencial só depende da coordenada $ z $, o gradiente simplifica para:
Passo 7
Vamos derivar $ V $ em relação a $ z $:
Derivando-se em relação a $ z $:
Então,
Passo 8
Agora, vamos comparar esse resultado com o que obteríamos fazendo a integração direta do campo elétrico. Pelo método direto, consideraríamos a contribuição de cada elemento de carga $ dq $ no anel e integraríamos as componentes do campo. Devido à simetria do anel, as componentes horizontais do campo se cancelam, restando apenas a componente vertical, que resulta exatamente na mesma expressão que encontramos pelo gradiente do potencial.
Resposta
Sim, os resultados obtidos pelo gradiente do potencial e pela integração direta são equivalentes. O campo elétrico no ponto a uma altura $ z $ é dado por: