Um cilindro oco condutor tem raio interno
e raio externo
, e é percorrido por uma corrente
ao longo do sentido positivo do eixo
. Encontre
em todas as regiões.
Passo 1
O enunciado nos dá um cilindro oco condutor com raio interno
e raio externo
. Uma corrente estacionária de intensidade
percorre o cilindro no sentido positivo do eixo
. Pede-se encontrar
em todas as regiões radiais, isto é:
- para
; - para
; - para
.
Informações relevantes fornecidas:
- Raio interno:
. - Raio externo:
. - Corrente total conduzida pelo casqueto:
(sentido ). - Regiões de interesse em coordenadas cilíndricas:
, e .
Observação importante (assunção padrão que o enunciado implica): a corrente está distribuída de forma estacionária e uniforme na seção transversal do material condutor entre
e
. Sem essa hipótese não é possível obter uma expressão única para
.
Passo 2
Princípio que vamos usar (enunciado e significado).
A lei integral de Ampère (na forma para ) é
A lei integral de Ampère (na forma para
onde:
-
é uma curva fechada qualquer; -
é o elemento de comprimento ao longo de ; -
é a corrente total atravessando a superfície limitada por (corrente encaixada).
Significado físico: a circulação deao longo de um caminho fechado é igual à corrente elétrica que atravessa o laço definido por esse caminho.
Por simetria cilíndrica do problema (geometria invariante por rotações em torno do eixo
e translacões ao longo de
), o campo magnético resultante tem direção azimutal e módulo que depende somente de
. Assim podemos escolher uma curva
como um círculo de raio
, centrado no eixo, no plano perpendicular ao eixo. Para esse laço:
-
é tangente ao círculo em todos os pontos e tem módulo uniforme sobre o círculo; -
tem módulo e direção tangente; a integral fica simples.
Passo 3
Aplicando Ampère ao laço circular de raio
. Pela simetria,
onde
é o módulo de
no raio
(direção azimutal
).
Agora precisamos calcular
dependendo da região escolhida.
Passo 4
Região interior do vão:
.
Neste caso o laço de raio
está totalmente dentro do espaço vazio do cilindro oco; não existe material condutor nem corrente atravessando a superfície limitada pelo laço. Portanto
Usando Ampère:
Direção: como módulo é zero,
para
.
Passo 5
Região do próprio material condutor:
.
Primeiro calcule a densidade de corrente superficial/volumétrica apropriada. Com a hipótese de corrente uniformemente distribuída sobre a seção transversal do material do casqueto (espessura entre
e
), a densidade de corrente superficial por unidade de área transversal (na verdade densidade de corrente volumétrica radialmente uniforme no corte) é
Aqui
tem unidades de A/m
e representa corrente por área na secção transversal do material condutor (constante em
pela hipótese).
Agora, para um laço de raio
com
, a corrente encaixada é a corrente contida entre
e
. A área dessa coroa circular é
. Logo
Aplicando Ampère:
Isolando
:
Direção: por simetria e pela regra da mão direita (corrente no sentido
produz campo circular no sentido
), o vetor é
Passo 6
Região externa ao condutor:
.
Agora o laço de raio
engloba toda a seção do condutor; portanto
(toda a corrente). Pela Ampère:
Direção: novamente azimutal no sentido
(pela regra da mão direita). Assim
Passo 7
Verificações rápidas e interpretação física (motiva confiança na resposta):
- Continuidade em
: como a expressão para tende a zero, portanto é contínuo em (valor nulo dentro do vão). - Continuidade em
: tomando na expressão do casqueto obtemos , que coincide com a expressão para avaliada em ; portanto é contínuo em . - Comportamento físico: fora do condutor
decai como , característico de um fio longo; dentro do material condutor o módulo cresce com (pois mais corrente está sendo incluída no laço ao aumentar ) até atingir o valor externo na superfície externa.