Um cilindro oco condutor tem raio interno a e raio externo b, e é percorrido por uma corrente I ao longo do sentido positivo do eixo z. Encontre \vec{H} em todas as regiões.
\begin{aligned} & R .: \vec{H}(\rho<a)=0 \\ & \vec{H}(a<\rho<b)=\frac{I}{2 \pi \rho} \frac{\left(\rho^{2}-a^{2}\right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)} \hat{a}_{\varphi} \mathrm{A} / \mathrm{m} \\ & \vec{H}(\rho>b)=\frac{I}{2 \pi \rho} \hat{a}_{\varphi} \mathrm{A} / \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado nos dá um cilindro oco condutor com raio interno a e raio externo b. Uma corrente estacionária de intensidade I percorre o cilindro no sentido positivo do eixo z. Pede-se encontrar \vec{H} em todas as regiões radiais, isto é:
  • para \rho<a;
  • para a<\rho<b;
  • para \rho>b.
Informações relevantes fornecidas:
  • Raio interno: a.
  • Raio externo: b.
  • Corrente total conduzida pelo casqueto: I (sentido +z).
  • Regiões de interesse em coordenadas cilíndricas: \rho<a, a<\rho<b e \rho>b.
Observação importante (assunção padrão que o enunciado implica): a corrente está distribuída de forma estacionária e uniforme na seção transversal do material condutor entre \rho=a e \rho=b. Sem essa hipótese não é possível obter uma expressão única para \vec H.

Passo 2

Princípio que vamos usar (enunciado e significado).
A lei integral de Ampère (na forma para \vec{H}) é
\oint_{\mathcal{C}} \vec{H}\cdot d\vec{\ell} = I_{\text{enc}},
onde:
  • \mathcal{C} é uma curva fechada qualquer;
  • d\vec{\ell} é o elemento de comprimento ao longo de \mathcal{C};
  • I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a superfície limitada por \mathcal{C} (corrente encaixada).
    Significado físico: a circulação de \vec H ao longo de um caminho fechado é igual à corrente elétrica que atravessa o laço definido por esse caminho.
Por simetria cilíndrica do problema (geometria invariante por rotações em torno do eixo z e translacões ao longo de z), o campo magnético resultante tem direção azimutal e módulo que depende somente de \rho. Assim podemos escolher uma curva \mathcal C como um círculo de raio \rho, centrado no eixo, no plano perpendicular ao eixo. Para esse laço:
  • \vec H é tangente ao círculo em todos os pontos e tem módulo uniforme sobre o círculo;
  • d\vec\ell tem módulo d\ell e direção tangente; a integral fica simples.

Passo 3

Aplicando Ampère ao laço circular de raio \rho. Pela simetria,
\oint_{\mathcal{C}} \vec{H}\cdot d\vec{\ell} = H(\rho)\, (2\pi \rho),
onde H(\rho) é o módulo de \vec H no raio \rho (direção azimutal \hat a_\varphi).
Agora precisamos calcular I_{\text{enc}} dependendo da região escolhida.

Passo 4

Região interior do vão: \rho<a.
Neste caso o laço de raio \rho está totalmente dentro do espaço vazio do cilindro oco; não existe material condutor nem corrente atravessando a superfície limitada pelo laço. Portanto
I_{\text{enc}}=0.
Usando Ampère:
H(\rho)\,(2\pi \rho)=0 \quad\Rightarrow\quad H(\rho)=0.
Direção: como módulo é zero, \vec H(\rho)=\vec 0 para \rho<a.

Passo 5

Região do próprio material condutor: a<\rho<b.
Primeiro calcule a densidade de corrente superficial/volumétrica apropriada. Com a hipótese de corrente uniformemente distribuída sobre a seção transversal do material do casqueto (espessura entre a e b), a densidade de corrente superficial por unidade de área transversal (na verdade densidade de corrente volumétrica radialmente uniforme no corte) é
J = \frac{I}{\pi\left(b^{2}-a^{2}\right)}.
Aqui J tem unidades de A/m ^2 e representa corrente por área na secção transversal do material condutor (constante em a<\rho<b pela hipótese).
Agora, para um laço de raio \rho com a<\rho<b, a corrente encaixada é a corrente contida entre \rho=a e \rho=\rho. A área dessa coroa circular é \pi(\rho^{2}-a^{2}). Logo
I_{\text{enc}} = J\cdot \pi\left(\rho^{2}-a^{2}\right) = \frac{I}{\pi\left(b^{2}-a^{2}\right)}\cdot \pi\left(\rho^{2}-a^{2}\right) = I\frac{\rho^{2}-a^{2}}{b^{2}-a^{2}}.
Aplicando Ampère:
H(\rho)\,(2\pi \rho)=I_{\text{enc}}=I\frac{\rho^{2}-a^{2}}{b^{2}-a^{2}}.
Isolando H(\rho):
H(\rho)=\frac{I}{2\pi \rho}\,\frac{\rho^{2}-a^{2}}{b^{2}-a^{2}}.
Direção: por simetria e pela regra da mão direita (corrente no sentido +z produz campo circular no sentido \hat a_\varphi), o vetor é
\vec H(\rho)=\frac{I}{2\pi \rho}\,\frac{\rho^{2}-a^{2}}{b^{2}-a^{2}}\,\hat a_\varphi \qquad\text{para }a<\rho<b.

Passo 6

Região externa ao condutor: \rho>b.
Agora o laço de raio \rho engloba toda a seção do condutor; portanto I_{\text{enc}}=I (toda a corrente). Pela Ampère:
H(\rho)\,(2\pi \rho)=I \quad\Rightarrow\quad H(\rho)=\frac{I}{2\pi \rho}.
Direção: novamente azimutal no sentido \hat a_\varphi (pela regra da mão direita). Assim
\vec H(\rho)=\frac{I}{2\pi \rho}\,\hat a_\varphi \qquad\text{para }\rho>b.

Passo 7

Verificações rápidas e interpretação física (motiva confiança na resposta):
  • Continuidade em \rho=a: como \rho\to a^+ a expressão para a<\rho<b tende a zero, portanto \vec H é contínuo em a (valor nulo dentro do vão).
  • Continuidade em \rho=b: tomando \rho\to b^- na expressão do casqueto obtemos \dfrac{I}{2\pi b}, que coincide com a expressão para \rho>b avaliada em \rho=b; portanto \vec H é contínuo em b.
  • Comportamento físico: fora do condutor \vec H decai como 1/\rho, característico de um fio longo; dentro do material condutor o módulo cresce com \rho (pois mais corrente está sendo incluída no laço ao aumentar \rho) até atingir o valor externo na superfície externa.

Resposta

\vec{H}(\rho<a)=0
\displaystyle \vec{H}(a<\rho<b)=\frac{I}{2\pi \rho}\,\frac{\rho^{2}-a^{2}}{b^{2}-a^{2}}\,\hat a_{\varphi}\\ \mathrm{A/m}
\displaystyle \vec{H}(\rho>b)=\frac{I}{2\pi \rho}\,\hat a_{\varphi}\\ \mathrm{A/m}

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