Um cilindro oco, de densidade de massa uniforme e cujo raio interno Rt é metade do externo R, rola sem escorregar por uma pista horizontal em que a velocidade de seu centro de massa em relação ao solo é vo. A seguir o mesmo sobe uma rampa, também sem escorregar, de tal forma que seu centro de massa sofre uma elevação h, em relação à horizontal.
Desprezando qualquer dissipação de energia, a expressão dada para a altura h, em termos de vo e da aceleração da gravidade do local é :
(a) 13 vo ^2 / 16 g
(b) 11 vo^2 / 12 g
© 9 vo^2 / 8 g
(d) 7 vo^2 / 4 g
(e) 3 vo^2 / 2 g

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um cilindro oco com densidade de massa uniforme, onde o raio interno Rt é metade do raio externo R. Esse cilindro rola sem escorregar numa pista horizontal com velocidade do centro de massa vo. Em seguida, ele sobe uma rampa sem escorregar, elevando seu centro de massa a uma altura h. Precisamos encontrar uma expressão para h em termos de vo e da aceleração da gravidade g. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética, energia potencial e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total do cilindro ao descer a pista horizontal é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação. A energia cinética de translação é dada por:
Etrans = 12 m vo^2
E a energia cinética de rotação é:
Erot = 12 I omega^2
Onde m é a massa do cilindro, I é o momento de inércia e omega é a velocidade angular.

Passo 3

Como o cilindro rola sem escorregar, a velocidade linear vo está relacionada à velocidade angular omega pela relação:
vo = R omega
Portanto, podemos expressar omega em termos de vo:
omega = voR

Passo 4

O momento de inércia I para um cilindro oco com raios interno Rt e externo R é dado por:
I = m R^2 + Rt^22
Como Rt = R2, substituindo temos:
I = m R^2 + (R2)^22 = m R^2 + R^242 = m 5R^242 = 58 m R^2

Passo 5

Substituindo omega = voR e I = 58 m R^2 na expressão da energia rotacional:
Erot = 12 times 58 m R^2 times (voR)^2 = 12 times 58 m R^2 times vo^2R^2 = 516 m vo^2

Passo 6

A energia total inicial é a soma das energias de translação e rotação:
Etotal = Etrans + Erot = 12 m vo^2 + 516 m vo^2 = 816 m vo^2 + 516 m vo^2 = 1316 m vo^2

Passo 7

Quando o cilindro sobe a rampa e atinge a altura h, toda a energia cinética é convertida em energia potencial gravitacional:
Epot = m g h
Pela conservação da energia,
Etotal = Epot 1316 m vo^2 = m g h

Passo 8

Resolvendo para h:
h = 1316 vo^2g

Resposta

A altura h é dada por:
h = 13 vo^216 g
Portanto, a alternativa correta é a (a).

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