Um cilindro oco, de densidade de massa uniforme e cujo raio interno
é metade do externo
, rola sem escorregar por uma pista horizontal em que a velocidade de seu centro de massa em relação ao solo é
. A seguir o mesmo sobe uma rampa, também sem escorregar, de tal forma que seu centro de massa sofre uma elevação
, em relação à horizontal.
Desprezando qualquer dissipação de energia, a expressão dada para a altura
, em termos de
e da aceleração da gravidade do local é :
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Desprezando qualquer dissipação de energia, a expressão dada para a altura
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um cilindro oco com densidade de massa uniforme, onde o raio interno
é metade do raio externo
. Esse cilindro rola sem escorregar numa pista horizontal com velocidade do centro de massa
. Em seguida, ele sobe uma rampa sem escorregar, elevando seu centro de massa a uma altura
. Precisamos encontrar uma expressão para
em termos de
e da aceleração da gravidade
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética, energia potencial e momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total do cilindro ao descer a pista horizontal é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação. A energia cinética de translação é dada por:
E a energia cinética de rotação é:
Onde
é a massa do cilindro,
é o momento de inércia e
é a velocidade angular.
Passo 3
Como o cilindro rola sem escorregar, a velocidade linear
está relacionada à velocidade angular
pela relação:
Portanto, podemos expressar
em termos de
:
Passo 4
O momento de inércia
para um cilindro oco com raios interno
e externo
é dado por:
Como
, substituindo temos:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão da energia rotacional:
Passo 6
A energia total inicial é a soma das energias de translação e rotação:
Passo 7
Quando o cilindro sobe a rampa e atinge a altura
, toda a energia cinética é convertida em energia potencial gravitacional:
Pela conservação da energia,
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
A altura
é dada por:
Portanto, a alternativa correta é a (a).