Um cilindro sólido isolante muito longo possui raio
e densidade volumétrica de carga uniforme
. Calcule o campo elétrico:
No exterior do cilindro para
.
No exterior do cilindro para
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que ele pede (pego os números do enunciado):
- Raio do cilindro:
. - Densidade volumétrica de carga (uniforme):
. - Pede-se o campo elétrico no exterior do cilindro para
.
Resumo do pedido: calcularpara (esse é a distância radial ao eixo do cilindro).
Passo 2
Identificação da simetria e escolha da superfície gaussiana (explicação didática)
- Um cilindro “muito longo” com carga distribuída uniformemente tem simetria cilíndrica: o campo elétrico depende só da distância radial
ao eixo e aponta radialmente (para fora se a carga for positiva). - Para problemas com simetria cilíndrica usa-se uma superfície gaussiana cilindrica coaxial de raio
e comprimento . Essa escolha facilita porque o campo é constante na superfície lateral e perpendicular a ela. - A contribuição de fluxo pelas tampas (as bases do cilindro gaussiano) é zero porque o campo é radial e as tampas têm normais na direção do eixo; portanto o fluxo relevante é só através da superfície lateral.
Passo 3
Carga contida pela superfície gaussiana (ensino do conceito de carga encerrada)
- A carga total encerrada pela superfície gaussiana de raio
e comprimento é a densidade volumétrica vezes o volume encerrado. - Volume do cilindro de raio
(pois para a carga encerrada é toda a carga do cilindro físico, que tem raio ) e comprimento :
- Assim a carga encerrada é
Passo 4
Enunciado e uso da Lei de Gauss (introdução da fórmula)
- A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através da superfície gaussiana é igual a
:
- Na superfície lateral do cilindro gaussiano o campo tem módulo
constante e é perpendicular à superfície, então o fluxo pela lateral é vezes a área lateral . As tampas não contribuem (fluxo zero). - Portanto:
Passo 5
Isolando
(derivação simbólica passo a passo)
- Cancelando
e dos dois lados e isolando :
- Observação didática: esta fórmula vale para qualquer
(fora do cilindro). As variáveis significam: -
: densidade volumétrica de carga (C/m ); -
: raio do cilindro carregado (m); -
: permissividade do vácuo ( ); -
: distância radial onde se calcula o campo (m); -
: módulo do campo elétrico em .
-
Passo 6
Substituindo os valores numéricos (contas feitas de modo que dê para reproduzir à mão)
- Primeiro escrevo os valores em notação científica:
-
, -
, -
, -
.
-
- Calculo o numerador
:
- Calculo o denominador
:
- Agora a divisão:
- Unidade:
. E o sentido é radial para fora porque .
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida
- O valor faz sentido: campo relativamente pequeno (ordem de
) para a densidade de carga dada. - Resultado com 3 algarismos significativos:
direção: radialmente para fora.