Um cilindro sólido isolante muito longo possui raio \mathrm{R}=0,10 \mathrm{~m} e densidade volumétrica de carga uniforme \rho=2 \times 10^{-6} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}. Calcule o campo elétrico:
No exterior do cilindro para r=0,25 \mathrm{~m}.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede (pego os números do enunciado):
  • Raio do cilindro: R=0,10\\ \mathrm{m}.
  • Densidade volumétrica de carga (uniforme): \rho=2\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
  • Pede-se o campo elétrico no exterior do cilindro para r=0,25\\ \mathrm{m}.
    Resumo do pedido: calcular \vec{E} para r=0,25\\ \mathrm{m} (esse r é a distância radial ao eixo do cilindro).

Passo 2

Identificação da simetria e escolha da superfície gaussiana (explicação didática)
  • Um cilindro “muito longo” com carga distribuída uniformemente tem simetria cilíndrica: o campo elétrico depende só da distância radial r ao eixo e aponta radialmente (para fora se a carga for positiva).
  • Para problemas com simetria cilíndrica usa-se uma superfície gaussiana cilindrica coaxial de raio r e comprimento L. Essa escolha facilita porque o campo é constante na superfície lateral e perpendicular a ela.
  • A contribuição de fluxo pelas tampas (as bases do cilindro gaussiano) é zero porque o campo é radial e as tampas têm normais na direção do eixo; portanto o fluxo relevante é só através da superfície lateral.

Passo 3

Carga contida pela superfície gaussiana (ensino do conceito de carga encerrada)
  • A carga total encerrada pela superfície gaussiana de raio r e comprimento L é a densidade volumétrica vezes o volume encerrado.
  • Volume do cilindro de raio R (pois para r>R a carga encerrada é toda a carga do cilindro físico, que tem raio R) e comprimento L:
V = \pi R^{2} L.
  • Assim a carga encerrada é
Q_{\text{enc}}=\rho \,V=\rho\,\pi R^{2} L.

Passo 4

Enunciado e uso da Lei de Gauss (introdução da fórmula)
  • A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através da superfície gaussiana é igual a Q_{\text{enc}}/\epsilon_{0}:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_{0}}.
  • Na superfície lateral do cilindro gaussiano o campo tem módulo E(r) constante e é perpendicular à superfície, então o fluxo pela lateral é E(r) vezes a área lateral 2\pi r L. As tampas não contribuem (fluxo zero).
  • Portanto:
E(r)\cdot (2\pi r L)=\frac{\rho\,\pi R^{2} L}{\epsilon_{0}}.

Passo 5

Isolando E(r) (derivação simbólica passo a passo)
  • Cancelando \pi e L dos dois lados e isolando E(r):
E(r)=\frac{\rho\,R^{2}}{2\epsilon_{0}\,r}.
  • Observação didática: esta fórmula vale para qualquer r>R (fora do cilindro). As variáveis significam:
    • \rho: densidade volumétrica de carga (C/m ^3);
    • R: raio do cilindro carregado (m);
    • \epsilon_{0}: permissividade do vácuo ( \approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m});
    • r: distância radial onde se calcula o campo (m);
    • E(r): módulo do campo elétrico em \mathrm{N/C}.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos (contas feitas de modo que dê para reproduzir à mão)
  • Primeiro escrevo os valores em notação científica:
    • \rho=2\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^{3}},
    • R=0,10\\ \mathrm{m}\Rightarrow R^{2}=(0,10)^{2}=0,01\\ \mathrm{m^{2}}=1\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{2}},
    • r=0,25\\ \mathrm{m},
    • \epsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Calculo o numerador \rho R^{2}:
\rho R^{2}=(2\times10^{-6})\times(1\times10^{-2})=2\times10^{-8}.
  • Calculo o denominador 2\epsilon_{0}r:
2\epsilon_{0}r=2\times(8{,}854\times10^{-12})\times0,25 = (2\times0,25)\times8{,}854\times10^{-12} =0,5\times8{,}854\times10^{-12} =4{,}427\times10^{-12}.
  • Agora a divisão:
E(r)=\frac{2\times10^{-8}}{4{,}427\times10^{-12}} =\frac{2}{4{,}427}\times10^{(-8)-(-12)} \approx0{,}4514\times10^{4} \approx4{,}51\times10^{3}.
  • Unidade: \mathrm{N/C}. E o sentido é radial para fora porque \rho>0.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida
  • O valor faz sentido: campo relativamente pequeno (ordem de 10^{3}\\ \mathrm{N/C}) para a densidade de carga dada.
  • Resultado com 3 algarismos significativos:
E(0,25\\ \mathrm{m})\approx4{,}51\times10^{3}\\ \mathrm{N/C},
direção: radialmente para fora.

Resposta

\vec{E}(r=0,25\\ \mathrm{m})=4{,}51\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}\\ \hat{r}

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