Um cilindro de oxigênio é mantido à temperatura ambiente ( 300 K ). Qual é a fração das moléculas cuja velocidade está no intervalo de 599 a
? A massa molar M do oxigênio é
.
Passo 1
O que o problema pede: a fração (probabilidade) das moléculas de oxigênio cuja velocidade está no intervalo de
a
.
Informações dadas:
- Temperatura:
. - Massa molar do oxigênio:
.
O que vamos usar (informações físicas necessárias para resolver): constantes universais que vamos empregar explicitamente mais adiante:
Passo 2
Qual fórmula usar e por quê (explicação didática):
Quando temos um gás ideal em equilíbrio térmico, a distribuição de velocidades dos átomos/moléculas é dada pela distribuição de Maxwell para velocidades. Essa distribuição fornece uma densidade de probabilidade tal que
é a fração de moléculas com velocidade entre
e
.
Quando temos um gás ideal em equilíbrio térmico, a distribuição de velocidades dos átomos/moléculas é dada pela distribuição de Maxwell para velocidades. Essa distribuição fornece uma densidade de probabilidade
A fórmula da densidade de probabilidade para a velocidade (em 3D) é:
onde
-
é a velocidade (m/s), -
é a massa de uma molécula (kg), -
é a constante de Boltzmann ( ), -
é a temperatura (K).
Explicando cada termo:
- O fator
vem da contagem de estados em 3D (é a “superfície” em espaço de velocidades), - O termo
normaliza a distribuição (garante que a área total seja 1), - O fator exponencial
descreve a queda das probabilidades para velocidades altas por causa da energia cinética.
No nosso caso o intervalo é pequeno (
a
, largura
), portanto podemos aproximar a fração pedida por
onde escolhemos
como o ponto médio
. Isso é válido porque
varia lentamente em relação a
quando
é pequeno comparado à escala de variação da distribuição.
Passo 3
Calcular a massa de uma molécula de O
:
A massa por molécula é . Substituindo:
A massa por molécula é
Calcular
:
Passo 4
Montar os termos da distribuição para
.
Primeiro o fator dentro da potência:
Agora elevamos à potência
:
Multiplicando por
(o prefator):
Passo 5
Calcular
. Temos
, então
.
O fator exponencial:
Logo
Agora
:
Expliquei: multiplicamos o prefator pelo
e pelo exponencial; os números anteriores mostram cada etapa.
Passo 6
Aproximação da fração no intervalo
:
Em porcentagem isso é
. Comentário sobre a validade:
é muito pequeno frente à largura típica da distribuição (centenas de m/s), então a aproximação
é adequada e o erro é negligenciável para nossa precisão.
Passo 7
Resumo final e incentivo: portanto, a fração é da ordem de poucos milésimos — ou seja, poucas moléculas entre
e
. Você fez bem em pedir uma resolução detalhada; na prova basta aplicar a fórmula, calcular
, avaliar
no ponto médio e multiplicar por
. Vai dar certo — respira, revisa esses passos e pratica mais um exemplo parecido.