Um cilindro de oxigênio é mantido à temperatura ambiente ( 300 K ). Qual é a fração das moléculas cuja velocidade está no intervalo de 599 a 601 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ? A massa molar M do oxigênio é 0,0320 \mathrm{~kg} / \mathrm{mol}.

Passo 1

O que o problema pede: a fração (probabilidade) das moléculas de oxigênio cuja velocidade está no intervalo de 599 a 601\\ \mathrm{m/s}.
Informações dadas:
  • Temperatura: T=300\\ \mathrm{K}.
  • Massa molar do oxigênio: M=0,0320\\ \mathrm{kg/mol}.
O que vamos usar (informações físicas necessárias para resolver): constantes universais que vamos empregar explicitamente mais adiante:
k_B = 1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K},\qquad N_A = 6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (explicação didática):
Quando temos um gás ideal em equilíbrio térmico, a distribuição de velocidades dos átomos/moléculas é dada pela distribuição de Maxwell para velocidades. Essa distribuição fornece uma densidade de probabilidade f(v) tal que f(v)\,dv é a fração de moléculas com velocidade entre v e v+dv.
A fórmula da densidade de probabilidade para a velocidade (em 3D) é:
f(v) = 4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} v^{2} \exp\!\left(-\frac{m v^{2}}{2 k_B T}\right),
onde
  • v é a velocidade (m/s),
  • m é a massa de uma molécula (kg),
  • k_B é a constante de Boltzmann ( \mathrm{J/K}),
  • T é a temperatura (K).
Explicando cada termo:
  • O fator 4\pi v^{2} vem da contagem de estados em 3D (é a “superfície” em espaço de velocidades),
  • O termo \left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} normaliza a distribuição (garante que a área total seja 1),
  • O fator exponencial \exp(-m v^{2}/(2k_B T)) descreve a queda das probabilidades para velocidades altas por causa da energia cinética.
No nosso caso o intervalo é pequeno ( 599 a 601\\ \mathrm{m/s}, largura \Delta v=2\\ \mathrm{m/s}), portanto podemos aproximar a fração pedida por
\text{fração} \approx f(v_0)\,\Delta v,çã
onde escolhemos v_0 como o ponto médio v_0=600\\ \mathrm{m/s}. Isso é válido porque f(v) varia lentamente em relação a \Delta v quando \Delta v é pequeno comparado à escala de variação da distribuição.

Passo 3

Calcular a massa de uma molécula de O _2:
A massa por molécula é m = M/N_A. Substituindo:
m = \frac{0,0320}{6,02214076\times10^{23}}\\ \mathrm{kg} = 5,3136\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
Calcular k_B T:
k_B T = 1,380649\times10^{-23}\cdot 300 = 4,141947\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Montar os termos da distribuição para v_0=600\\ \mathrm{m/s}.
Primeiro o fator dentro da potência:
\frac{m}{2\pi k_B T} = \frac{5,3136\times10^{-26}}{2\pi\cdot 4,141947\times10^{-21}} = 2,0404\times10^{-6}.
Agora elevamos à potência 3/2:
\left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} = (2,0404\times10^{-6})^{3/2} = 2,9150\times10^{-9}.
Multiplicando por 4\pi (o prefator):
4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} = 4\pi \cdot 2,9150\times10^{-9} = 3,6625\times10^{-8}.

Passo 5

Calcular f(v_0). Temos v_0=600\\ \mathrm{m/s}, então v_0^{2}=3,60\times10^{5}\\ \mathrm{(m/s)^2}.
O fator exponencial:
\frac{m v_0^{2}}{2 k_B T} = \frac{5,3136\times10^{-26}\cdot 3,60\times10^{5}}{2\cdot 4,141947\times10^{-21}} = 2,3091.
Logo
\exp\!\left(-\frac{m v_0^{2}}{2 k_B T}\right) = e^{-2,3091} = 0,0994\\ (\text{aprox.}).
Agora f(v_0):
f(600) = 3,6625\times10^{-8}\cdot 3,60\times10^{5}\cdot 0,0994 = 1,311\times10^{-3}.
Expliquei: multiplicamos o prefator pelo v^{2} e pelo exponencial; os números anteriores mostram cada etapa.

Passo 6

Aproximação da fração no intervalo [599,601]\\ \mathrm{m/s}:
\Delta v = 2\\ \mathrm{m/s}, \qquad \text{fração} \approx f(600)\,\Delta v = 1,311\times10^{-3}\cdot 2 = 2,622\times10^{-3}.çã
Em porcentagem isso é 0,262\%. Comentário sobre a validade: \Delta v=2\\ \mathrm{m/s} é muito pequeno frente à largura típica da distribuição (centenas de m/s), então a aproximação f(v)\Delta v é adequada e o erro é negligenciável para nossa precisão.

Passo 7

Resumo final e incentivo: portanto, a fração é da ordem de poucos milésimos — ou seja, poucas moléculas entre 599 e 601\\ \mathrm{m/s}. Você fez bem em pedir uma resolução detalhada; na prova basta aplicar a fórmula, calcular m, avaliar f(v) no ponto médio e multiplicar por \Delta v. Vai dar certo — respira, revisa esses passos e pratica mais um exemplo parecido.

Resposta

2,62\times10^{-3}
0,262\%

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