São dados cinco números: 5,11,32,67 e 89.
Qual é o valor médio quadrático \mathrm{n}_{\mathrm{rms}} desses números?

Passo 1

O que o problema pede: calcular o valor médio quadrático (ou RMS) dos cinco números 5,\;11,\;32,\;67,\;89.
Informações fornecidas:
  • A lista de valores é 5,\;11,\;32,\;67,\;89.
  • São exatamente 5 números, portanto n=5.

Passo 2

Definição e fórmula do médio quadrático (RMS). O médio quadrático de n valores x_1,x_2,\dots,x_n é a raiz quadrada da média dos quadrados desses valores. Em fórmula:
n_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2}
Explicando cada símbolo:
  • n_{\mathrm{rms}} é o valor RMS que queremos encontrar.
  • n é o número total de valores (aqui n=5).
  • x_i são os valores individuais (aqui x_1=5,\;x_2=11,\;x_3=32,\;x_4=67,\;x_5=89).
  • \sum_{i=1}^{n} x_i^2 significa somar os quadrados de todos os x_i.

Passo 3

Calcular os quadrados de cada número (mostrando como fazer cada conta):
5^2=25
11^2=121
32^2=1024
67^2=4489\quad\text{(porque }67\cdot67= (60+7)(60+7)=3600+420+420+49=4489\text{)}
89^2=7921\quad\text{(porque }89\cdot89=(90-1)(90-1)=8100-90-90+1=7921\text{)}

Passo 4

Somar os quadrados e dividir por n=5:
Somatório dos quadrados:
25+121+1024+4489+7921=13580
Média dos quadrados:
\frac{13580}{5}=2716
Portanto a média dos quadrados é 2716.

Passo 5

Tirar a raiz quadrada de 2716. O RMS é
n_{\mathrm{rms}}=\sqrt{2716}.
Podemos simplificar a raiz: 2716=4\cdot679, logo
\sqrt{2716}=2\sqrt{679}.
Para uma aproximação numérica sem calculadora, note que 52^2=2704 e 53^2=2809, então \sqrt{2716} está entre 52 e 53. Usando aproximação linear (expansão de Taylor da raiz):
\sqrt{2704+\delta}\approx 52+\frac{\delta}{2\cdot52},
onde aqui \delta=2716-2704=12. Assim
\sqrt{2716}\approx 52+\frac{12}{104}=52+\frac{3}{26}\approx 52,1153846\ldots
Arredondando a três casas decimais: 52,115.

Resposta

\,n_{\mathrm{rms}}=2\sqrt{679}
\,n_{\mathrm{rms}}\approx 52,115

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