Um cilindro com pistão contém água a 25^{\circ} \mathrm{C}, inicialmente a p_{1}=1 bar e densidade \rho_{1}=997,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. O sistema é mantido isotérmico ( 25^{\circ} \mathrm{C} ) e sofre trabalho de compressão até que a pressão alcance p_{2}=201 bar. Considere o módulo de compressibilidade isotérmica da água constante no intervalo, K_{T}=2,15 \mathrm{GPa}, e despreze efeitos de energia cinética e potencial. Pede-se: calcular a densidade final \rho_{2} da água.

Passo 1

O enunciado descreve um processo isotérmico a 25^\circ\mathrm{C} em que água, inicialmente a pressão p_{1}=1 bar e densidade \rho_{1}=997{,}0, \mathrm{kg/m^3}, é comprimida até p_{2}=201 bar. Sabemos que o módulo de compressibilidade isotérmica K_T é constante e igual a 2{,}15, \mathrm{GPa}. Para encontrar a densidade final \rho_{2}, vamos usar a definição de compressibilidade isotérmica e a relação entre volume específico e densidade.

Passo 2

Pelo conceito, o módulo de compressibilidade isotérmica satisfaz
K_{T} \;=\;-V\,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V},
onde V é o volume ocupado pela massa de água. Rearranjando, temos
\frac{\mathrm{d}V}{V}\;=\;-\,\frac{\mathrm{d}p}{K_{T}}.

Passo 3

Integramos essa relação desde o estado 1 até o estado 2:
\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{\mathrm{d}V}{V} \;=\;-\frac{1}{K_{T}}\int_{p_{1}}^{p_{2}}\mathrm{d}p \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\bigl(\tfrac{V_{2}}{V_{1}}\bigr) \;=\; -\frac{p_{2}-p_{1}}{K_{T}}.

Passo 4

Como a massa de água é constante, V e \rho são inversamente proporcionais:
V\propto\frac{1}{\rho} \quad\Longrightarrow\quad \frac{V_{2}}{V_{1}} =\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} =\exp\!\bigl(\tfrac{p_{2}-p_{1}}{K_{T}}\bigr).

Passo 5

Substituímos os valores numéricos. Primeiro, convertemos pressões para pascal e K_{T} para pascal:
p_{2}-p_{1}=(201-1)\,\text{bar}=200\times10^{5}\,\mathrm{Pa}=2{,}00\times10^{7}\,\mathrm{Pa},
K_{T}=2{,}15\,\mathrm{GPa}=2{,}15\times10^{9}\,\mathrm{Pa}.
Então
\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} =\exp\!\Bigl(\frac{2{,}00\times10^{7}}{2{,}15\times10^{9}}\Bigr) =\exp(0{,}00930)\approx1{,}00935.
Logo
\rho_{2} =\rho_{1}\times1{,}00935 =997{,}0\times1{,}00935\approx1006{,}3\;\mathrm{kg/m^{3}}.

Resposta

A densidade final é aproximadamente \rho_{2}=1006{,}3, \mathrm{kg/m^{3}}.

Exercícios relacionados