Um cilindro com pistão contém água a 25^{\circ} \mathrm{C}, inicialmente a p_{1}=1 bar e densidade \rho_{1}=997,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. O sistema é mantido isotérmico ( 25^{\circ} \mathrm{C} ) e sofre trabalho de compressão até que a pressão alcance p_{2}=201 bar. Considere o módulo de compressibilidade isotérmica da água constante no intervalo, K_{T}=2,15 \mathrm{GPa}, e despreze efeitos de energia cinética e potencial. Pede-se: calcular a densidade final \rho_{2} da água.

Passo 1

O enunciado trata de comprimir isoterma­mente 25^\circ\mathrm{C} água num pistão de pressão inicial p_1=1 bar e densidade \rho_1=997{,}0;kg/ m^{3} até p_2=201 bar. Como se pede a densidade final \rho_2 e o processo é isoter­mo, vamos usar o módulo de compres­sibilidade isotérmica da água K_T, definido pela resposta volumétrica à variação de pressão.

Passo 2

O módulo de compressibilidade isotérmica K_T é dado por
K_T \;=\; -V\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_T.
Em regime isotérmo, um diferencial de pressão dp causa uma variação de volume dV que satisfaz
\frac{dV}{V} \;=\; -\frac{dp}{K_T}.

Passo 3

Como \rho = m/V (massa constante), uma variação dV implica
d\rho = -\rho\,\frac{dV}{V} \;\Longrightarrow\; \frac{d\rho}{\rho} = -\frac{dV}{V} =\frac{dp}{K_T}.

Passo 4

Integramos de p_1 a p_2 e de \rho_1 a \rho_2:
\int_{\rho_1}^{\rho_2}\frac{d\rho}{\rho} =\int_{p_1}^{p_2}\frac{dp}{K_T} \quad\Longrightarrow\quad \ln\frac{\rho_2}{\rho_1} =\frac{p_2-p_1}{K_T}.
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\rho_2 = \rho_1\exp\!\Bigl(\frac{p_2-p_1}{K_T}\Bigr).

Passo 5

Convertemos tudo para SI: p_1=1;bar= 1\times10^5;Pa, p_2=201;bar= 2{,}01\times10^7;Pa, K_T=2{,}15;GPa= 2{,}15\times10^9;Pa.
Então
\frac{p_2-p_1}{K_T} =\frac{2{,}01\times10^7 - 1\times10^5}{2{,}15\times10^9} \approx0{,}00930,
e
\rho_2 = 997{,}0\times\exp(0{,}00930)\approx1006{,}3\;\mathrm{kg/m^3}.

Resposta

A densidade final da água é aproximadamente 1006{,}3;kg/ m^{3}.

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