O que significa dizer que uma substância é incompressível? Para substâncias incompressíveis, c_{v}=c_{p}=c. Demonstre. Mostre também que para substâncias incompressíveis c d T=d u.

Passo 1

O enunciado pergunta o que significa dizer que uma substância é incompressível e pede para mostrar que, nesse caso, os calores específicos a volume constante e a pressão constante coincidem, isto é,
c_{v}=c_{p}=c
e também que
c\,dT = du.
O conteúdo de matéria é termodinâmica de substâncias simples e calor específico. Vamos precisar das definições
c_{v} = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial T}\Bigr)_{v}, \quad c_{p} = \Bigl(\frac{\partial h}{\partial T}\Bigr)_{p},
e da primeira lei, na forma de du, além da definição de entalpia h = u + pv.

Passo 2

Definição de substância incompressível: o volume específico v é constante, então
dv = 0
em qualquer processo. Em particular, variações de v em função de T ou p são nulas:
\Bigl(\frac{\partial v}{\partial T}\Bigr)_{p} = 0, \quad \Bigl(\frac{\partial v}{\partial p}\Bigr)_{T} = 0.

Passo 3

Cálculo de c_{v}: por definição,
c_{v} = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial T}\Bigr)_{v}.
Como v é constante para toda variação, u depende apenas de T, logo
c_{v} = \frac{du}{dT}.

Passo 4

Cálculo de c_{p}: por definição,
c_{p} = \Bigl(\frac{\partial h}{\partial T}\Bigr)_{p} \quad\text{com}\quad h = u + p\,v.
Como v é constante e o processo é a pressão constante dp=0, temos
dh = du + p\,dv + v\,dp = du + p\cdot 0 + v\cdot 0 = du.
Portanto,
c_{p} = \Bigl(\frac{dh}{dT}\Bigr)_{p} = \frac{du}{dT}.

Passo 5

Conclusão sobre os calores específicos: dos Passos 3 e 4 segue que
c_{v} = \frac{du}{dT} \quad\text{e}\quad c_{p} = \frac{du}{dT},
logo
c_{v} = c_{p} = c,
onde c é o único calor específico da substância incompressível.

Passo 6

Relação c\,dT = du: como acabamos de ver,
c = \frac{du}{dT}
para qualquer processo (já que u depende só de T), basta rearranjar para obter
du = c\,dT.

Resposta

Para substância incompressível dv=0, o que faz
c_{v} = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial T}\Bigr)_{v} = \frac{du}{dT}, \quad c_{p} = \Bigl(\frac{\partial h}{\partial T}\Bigr)_{p} = \frac{du}{dT},
logo c_{v}=c_{p}=c. E, consequentemente,
du = c\,dT.

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