1. (Cilindro Pneumático): A haste de um cilindro pneumático industrial se move em linha reta para realizar uma operação de prensagem. Sua aceleração durante a fase de avanço é dada por a(t)=6 t-2 m / s^2, onde t é o tempo em segundos após o início do movimento. No instante inicial (t=0), a velocidade da ponta da haste é v(0)=5 m / s e sua posição relativa à base do cilindro (posição totalmente recuada) é s(0)=0.05 m (ou 5 cm ).
    a) Encontre a função da velocidade v(t) da ponta da haste.
    b) Encontre a função da posição s(t) da ponta da haste em relação à base.
    c) Calcule o deslocamento total da ponta da haste (quanto ela avançou) entre os instantes t=1 s e t=3 s.

Passo 1

O enunciado nos dá a aceleração da haste como
a(t)=6t-2(m/s^2),
além das condições iniciais v(0)=5 m/s e s(0)=0,05 m. Para resolver, vamos usar a relação entre aceleração e velocidade ( a=dot v), e depois entre velocidade e posição ( v=dot s), aplicando integração e as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos a(t) em relação a t para obter v(t) mais uma constante C:
v(t)=integral(6t-2),dt=3t^2-2t+C
Usando v(0)=5, temos
5=v(0)=CLongrightarrow C=5
Logo,
v(t)=3t^2-2t+5(m/s)

Passo 3

Agora integramos v(t) para achar s(t) mais outra constante D:
s(t)=integral(3t^2-2t+5),dt =t^3 -t^2+5t +D
Como s(0)=0,05, obtemos
0,05=s(0)=DLongrightarrow D=0,05
Portanto,
s(t)=t^3 -t^2+5t+0,05(m)

Passo 4

O deslocamento entre t=1 s e t=3 s é
De<a s = s(3)-s(1)
Calculando,
s(3)=27-9+15+0,05=33,05, s(1)=1-1+5+0,05=5,05,
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De<a s =33,05-5,05=28m

Resposta

a) v(t)=3t^2 -2t +5 m/s
b) s(t)=t^3 -t^2 +5t +0,05 m
c) Deslocamento entre 1 s e 3 s: De<a s=28 m

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