1. (Componente Mecânico): Uma peça de um conjunto mecânico automatizado, movendose ao longo de uma guia linear, tem sua velocidade descrita pela função v(t)=2 cos (pi t)+ 3 cm / s. A posição inicial da peça, medida a partir de um sensor de referência na guia, é s(0)=0 cm.
    a) Determine a função da posição s(t) da peça ( em cm ).
    b) Qual é a posição da peça no instante t=0.5 s ?
    c) Calcule a distância total percorrida pela peça entre t=0 s e t=1 s. (Dica: Verifique se a velocidade v(t) muda de sinal ou se anula no intervalo [0,1] ).

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da peça ao longo do tempo como
v(t)=2cos(pi t)+3(cm/s)
com a condição inicial de posição s(0)=0.
O conteúdo envolvido é:
– obter a posição s(t) integrando v(t),
– avaliar s(t) em um ponto,
– calcular a distância total via integral0^1|v(t)|,dt, verificando o sinal de v(t).

Passo 2

Para encontrar s(t) em cm, integramos de 0 a t:
s(t)=integral0^tl(2cos(pi u)+3r),du =integral0^t2cos(pi u),du+integral0^t3,du
A primeira integral é 2pisin(pi u)|0^t e a segunda é 3t. Logo,
s(t)=2pisin(pi t)+3t

Passo 3

Para t=0,5 s, usamos
s(0,5)=2pisinl(picdot0,5r)+3cdot0,5 =2picdot1+1,5 =1,5+2piapprox2,1366 cm

Passo 4

A distância total é
integral0^1|v(t)|,dt
Como cos(pi t)in[-1,1], temos
v(t)>=2cdot(-1)+3=1>0
para todo tin[0,1]. Portanto v(t) não muda de sinal e
integral0^1|v(t)|,dt=integral0^1v(t),dt=s(1)-s(0)

Passo 5

Calculando s(1):
s(1)=2pisin(pi)+3cdot1=0+3=3 (cm)
Como s(0)=0, a distância total percorrida é 3 cm.

Resposta

a) s(t)=2pisin(pi t)+3t cm
b) s(0,5)=1,5+tfrac2piapprox2,1366 cm
c) distância total =3 cm

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