(Componente Mecânico): Uma peça de um conjunto mecânico automatizado, movendose ao longo de uma guia linear, tem sua velocidade descrita pela função . A posição inicial da peça, medida a partir de um sensor de referência na guia, é .
a) Determine a função da posição da peça ( em cm ).
b) Qual é a posição da peça no instante ?
c) Calcule a distância total percorrida pela peça entre e . (Dica: Verifique se a velocidade muda de sinal ou se anula no intervalo ).
Passo 1
O enunciado dá a velocidade da peça ao longo do tempo como
com a condição inicial de posição .
O conteúdo envolvido é:
– obter a posição integrando ,
– avaliar em um ponto,
– calcular a distância total via , verificando o sinal de .
Passo 2
Para encontrar em cm, integramos de 0 a :
A primeira integral é e a segunda é 3t. Logo,
s(t)=2pisin(pi t)+3t
Passo 3
Para t=0,5 s, usamos
s(0,5)=2pisinl(picdot0,5r)+3cdot0,5 =2picdot1+1,5 =1,5+2piapprox2,1366 cm
Passo 4
A distância total é
integral0^1|v(t)|,dt
Como cos(pi t)in[-1,1], temos
v(t)>=2cdot(-1)+3=1>0
para todo tin[0,1]. Portanto v(t) não muda de sinal e
integral0^1|v(t)|,dt=integral0^1v(t),dt=s(1)-s(0)
Passo 5
Calculando s(1):
s(1)=2pisin(pi)+3cdot1=0+3=3 (cm)
Como s(0)=0, a distância total percorrida é 3 cm.
Resposta
a) s(t)=2pisin(pi t)+3t cm
b) s(0,5)=1,5+tfrac2piapprox2,1366 cm
c) distância total =3 cm