Um cilindro de raio a e altura 2 a possui as bases carregadas simetricamente \mathrm{com}+\rho_{s} \mathrm{e}-\rho_{s}. Calcule o campo elétrico:
a) no eixo, à meia distância entre as bases;
Passo 1
O enunciado dá um cilindro de raio a e altura 2a. As duas bases circulares estão carregadas com densidades de carga superficiais opostas e simétricas: uma base com +\rho_{s} e a outra com -\rho_{s}. Pede-se o campo elétrico no ponto que está no eixo do cilindro e à meia distância entre as bases (isto é, no ponto central do cilindro, equidistante das duas bases).
Informações relevantes:
Raio das bases: a.
Distância entre as bases (altura do cilindro): 2a.
Densidades nas bases: uma base com +\rho_{s} e a outra com -\rho_{s}.
Ponto onde calcular o campo: eixo do cilindro, no centro (distância a de cada base).
Responder tanto magnitude quanto direção do campo.
Passo 2
Estratégia (apenas descrição do que vamos usar, sem cálculos ainda): usar o princípio da superposição — o campo total é soma dos campos criados por cada base separadamente — e calcular o campo no eixo de um disco uniformemente carregado a uma distância x do disco. Para isso vamos derivar a expressão do campo axial de um disco por integração por anéis concêntricos.
Passo 3
Cálculo do campo axial criado por um disco de raio a com densidade superficial \rho_{s}, em um ponto sobre o eixo à distância x do plano do disco.
Definir eixo z com origem no ponto onde queremos o campo; para derivação usamos a mesma geometria padrão: distância do ponto ao plano do disco igual a x (com x>0 se o ponto estiver no lado “positivo” do eixo).
Considere um anel elementar do disco de raio r' e espessura dr'. A carga desse anel é
dq = \rho_{s}\, (2\pi r'\, dr').
O campo axial (projeção no eixo) produzido por esse anel, no ponto a distância x do plano do anel, vale (lei de Coulomb para uma anel carregado)
Interpretação de sinal/direção: para um disco com carga positiva \rho_{s}>0, este E_z(x) é o módulo do campo apontando para fora do disco (longe do disco) no lado considerado; para negativo a direção se inverte.’, 'Aplicar ao problema: temos duas bases circulares (dois discos), uma com +\rho_{s} situada a uma distância a acima do ponto central, e outra com -\rho_{s} situada a uma distância a abaixo do ponto central. Tomemos o eixo z orientado para cima e a origem no centro do cilindro (ponto onde queremos o campo). Assim a distância de cada disco até o ponto é x=a.
Campo devido ao disco superior (carga +\rho_{s}), no ponto central:
mas como a carga é negativa, o campo aponta em direção ao disco (ou seja, também para baixo no ponto central). Assim o campo do disco inferior no ponto central está no mesmo sentido que o campo do disco superior.
Em termos vetoriais, com \hat{z} apontando para cima (para a base superior), o campo aponta para baixo, logo
\mathbf{E} = -\hat{z}\,\frac{\rho_{s}}{\varepsilon_0}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right).', ‘Breve comentário didático e checagem de limite (ajuda a fixar): a expressão faz sentido — se as bases fossem muito grandes em relação à separação (raio \gg distância), o termo \frac{a}{\sqrt{a^2+a^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} seria pequeno se a fosse pequena? Na realidade, para discos muito grandes o campo tenderia a \rho_s/\varepsilon_0 (próximo ao caso de duas placas infinitas com densidades opostas), e aqui o fator 1-1/\sqrt{2} é menor que 1 porque o raio é igual à separação; a direção do campo do positivo para o negativo também coincide com a intuição.’]))])print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=['O enunciado dá um cilindro de raio a e altura 2a. As duas bases circulares estão carregadas com densidades de carga superficiais opostas e simétricas: uma base com +\rho_{s} e a outra com -\rho_{s}. Pede-se o campo elétrico no ponto que está no eixo do cilindro e à meia distância entre as bases (isto é, no ponto central do cilindro, equidistante das duas bases).
Informações relevantes:
Raio das bases: a.
Distância entre as bases (altura do cilindro): 2a.
Densidades nas bases: uma base com +\rho_{s} e a outra com -\rho_{s}.
Ponto onde calcular o campo: eixo do cilindro, no centro (distância a de cada base).
Responder tanto magnitude quanto direção do campo.’, ‘Estratégia (apenas descrição do que vamos usar, sem cálculos ainda): usar o princípio da superposição — o campo total é soma dos campos criados por cada base separadamente — e calcular o campo no eixo de um disco uniformemente carregado a uma distância x do disco. Para isso vamos derivar a expressão do campo axial de um disco por integração por anéis concêntricos.’,