Um cilindro de raio a e altura 2 a possui as bases carregadas simetricamente \mathrm{com}+\rho_{s} \mathrm{e}-\rho_{s}. Calcule o campo elétrico:
a) no eixo, à meia distância entre as bases;

Passo 1

O enunciado dá um cilindro de raio a e altura 2a. As duas bases circulares estão carregadas com densidades de carga superficiais opostas e simétricas: uma base com +\rho_{s} e a outra com -\rho_{s}. Pede-se o campo elétrico no ponto que está no eixo do cilindro e à meia distância entre as bases (isto é, no ponto central do cilindro, equidistante das duas bases).
Informações relevantes:
  • Raio das bases: a.
  • Distância entre as bases (altura do cilindro): 2a.
  • Densidades nas bases: uma base com +\rho_{s} e a outra com -\rho_{s}.
  • Ponto onde calcular o campo: eixo do cilindro, no centro (distância a de cada base).
  • Responder tanto magnitude quanto direção do campo.

Passo 2

Estratégia (apenas descrição do que vamos usar, sem cálculos ainda): usar o princípio da superposição — o campo total é soma dos campos criados por cada base separadamente — e calcular o campo no eixo de um disco uniformemente carregado a uma distância x do disco. Para isso vamos derivar a expressão do campo axial de um disco por integração por anéis concêntricos.

Passo 3

Cálculo do campo axial criado por um disco de raio a com densidade superficial \rho_{s}, em um ponto sobre o eixo à distância x do plano do disco.
Definir eixo z com origem no ponto onde queremos o campo; para derivação usamos a mesma geometria padrão: distância do ponto ao plano do disco igual a x (com x>0 se o ponto estiver no lado “positivo” do eixo).
Considere um anel elementar do disco de raio r' e espessura dr'. A carga desse anel é
dq = \rho_{s}\, (2\pi r'\, dr').
O campo axial (projeção no eixo) produzido por esse anel, no ponto a distância x do plano do anel, vale (lei de Coulomb para uma anel carregado)
dE_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{dq\; x}{\bigl(x^2 + r'^2\bigr)^{3/2}},
onde x/\bigl(x^2+r'^2\bigr)^{1/2} é o cosseno do ângulo entre o elemento de campo e o eixo.
Substituindo dq:
dE_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\rho_{s}\,2\pi r' x\, dr'}{\bigl(x^2 + r'^2\bigr)^{3/2}} = \frac{\rho_{s} x}{2\varepsilon_0}\,\frac{r'\, dr'}{\bigl(x^2 + r'^2\bigr)^{3/2}}.
Integramos r' de 0 até a:
E_z(x) = \frac{\rho_{s} x}{2\varepsilon_0}\int_{0}^{a}\frac{r'\, dr'}{\bigl(x^2 + r'^2\bigr)^{3/2}}.
Fazer a substituição u = x^2 + r'^2, então du = 2 r' dr'. Assim
\int_{0}^{a}\frac{r'\, dr'}{\bigl(x^2 + r'^2\bigr)^{3/2}} = \frac{1}{2}\int_{x^2}^{x^2+a^2} u^{-3/2}\, du = \frac{1}{2}\left[-2 u^{-1/2}\right]_{x^2}^{x^2+a^2} = \left[\frac{1}{\sqrt{x^2}} - \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\right].
Como \sqrt{x^2}=|x|=x (tomando x>0), obtemos
\int_{0}^{a}\frac{r'\, dr'}{\bigl(x^2 + r'^2\bigr)^{3/2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}.
Substituindo de volta em E_z(x):
E_z(x) = \frac{\rho_{s} x}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\right) = \frac{\rho_{s}}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\right).
Interpretação de sinal/direção: para um disco com carga positiva \rho_{s}>0, este E_z(x) é o módulo do campo apontando para fora do disco (longe do disco) no lado considerado; para negativo a direção se inverte.’, 'Aplicar ao problema: temos duas bases circulares (dois discos), uma com +\rho_{s} situada a uma distância a acima do ponto central, e outra com -\rho_{s} situada a uma distância a abaixo do ponto central. Tomemos o eixo z orientado para cima e a origem no centro do cilindro (ponto onde queremos o campo). Assim a distância de cada disco até o ponto é x=a.
Campo devido ao disco superior (carga +\rho_{s}), no ponto central:
E_{\text{superior}} = \frac{\rho_{s}}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{a}{\sqrt{a^2+a^2}}\right) = \frac{\rho_{s}}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Direção: o disco positivo empurra o campo para longe dele, ou seja, no ponto central ele gera um campo para baixo (sentido -\hat{z}).
Campo devido ao disco inferior (carga -\rho_{s}), no ponto central:
A magnitude dada pela mesma fórmula com |\rho_{s}| é
\bigl|E_{\text{inferior}}\bigr| = \frac{\rho_{s}}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right),
mas como a carga é negativa, o campo aponta em direção ao disco (ou seja, também para baixo no ponto central). Assim o campo do disco inferior no ponto central está no mesmo sentido que o campo do disco superior.
Pela superposição, os módulos somam:
E_{\text{total}} = 2\cdot\frac{\rho_{s}}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\rho_{s}}{\varepsilon_0}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Em termos vetoriais, com \hat{z} apontando para cima (para a base superior), o campo aponta para baixo, logo
\mathbf{E} = -\hat{z}\,\frac{\rho_{s}}{\varepsilon_0}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right).', ‘Breve comentário didático e checagem de limite (ajuda a fixar): a expressão faz sentido — se as bases fossem muito grandes em relação à separação (raio \gg distância), o termo \frac{a}{\sqrt{a^2+a^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} seria pequeno se a fosse pequena? Na realidade, para discos muito grandes o campo tenderia a \rho_s/\varepsilon_0 (próximo ao caso de duas placas infinitas com densidades opostas), e aqui o fator 1-1/\sqrt{2} é menor que 1 porque o raio é igual à separação; a direção do campo do positivo para o negativo também coincide com a intuição.’]))])print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=['O enunciado dá um cilindro de raio a e altura 2a. As duas bases circulares estão carregadas com densidades de carga superficiais opostas e simétricas: uma base com +\rho_{s} e a outra com -\rho_{s}. Pede-se o campo elétrico no ponto que está no eixo do cilindro e à meia distância entre as bases (isto é, no ponto central do cilindro, equidistante das duas bases).
Informações relevantes:
  • Raio das bases: a.
  • Distância entre as bases (altura do cilindro): 2a.
  • Densidades nas bases: uma base com +\rho_{s} e a outra com -\rho_{s}.
  • Ponto onde calcular o campo: eixo do cilindro, no centro (distância a de cada base).
  • Responder tanto magnitude quanto direção do campo.’, ‘Estratégia (apenas descrição do que vamos usar, sem cálculos ainda): usar o princípio da superposição — o campo total é soma dos campos criados por cada base separadamente — e calcular o campo no eixo de um disco uniformemente carregado a uma distância x do disco. Para isso vamos derivar a expressão do campo axial de um disco por integração por anéis concêntricos.’,

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}=-\hat{z}\,\frac{\rho_{s}}{\varepsilon_{0}}\!\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)

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