Calcule as transformadas das funções descontínuas abaixo.
(a) f(t)=e^{t-6} \mu_{6}(t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=e^{t-6}\,\mu_{6}(t),
onde \mu_{6}(t) é a função degrau unitário deslocada em t=6.
O conteúdo envolve a propriedade de deslocamento no tempo (time-shift) em transformadas de Laplace.

Passo 2

Recordando o teorema de deslocamento no tempo: se
f(t)=g(t-a)\,u(t-a),
então
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =e^{-a s}\,G(s),
onde
G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}g(t)\,e^{-s t}\,dt.

Passo 3

Identificamos em f(t)=e^{t-6}\,\mu_{6}(t) que a=6 e
g(\tau)=e^{\tau},
pois ao escrever t-6=\tau temos f(t)=g(t-6)\,u(t-6).
Calculamos então
G(s) =\int_{0}^{\infty}e^{\tau}\,e^{-s\tau}\,d\tau =\int_{0}^{\infty}e^{-(s-1)\tau}\,d\tau =\frac{1}{s-1},
válido para \Re(s)>1.

Passo 4

Aplicando o fator de deslocamento, a transformada de f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =e^{-6s}\,G(s) =e^{-6s}\,\frac{1}{s-1},
com região de convergência \Re(s)>1.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{t-6}\,\mu_{6}(t)\}(s) =\frac{e^{-6s}}{s-1},\quad \Re(s)>1.

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