Um cilindro de raio
e massa
rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado de ângulo
, com relação à horizontal, de uma altura
. Calcule: (b) o tempo que o cilindro leva para atingir a base do plano.
Passo 1
Beleza, vamos mandar brasa nesse probleminha de rolagem sem deslizar de um cilindro. O enunciado diz: “Um cilindro de raio
e massa
rola sem deslizar por um plano inclinado de ângulo
, partindo de uma altura
. O momento de inércia em torno do centro de massa é
. Calcule o tempo que ele leva para chegar à base.”
Conteúdo: dinâmica de corpo rígido em rolamento sem deslizamento e cinemática com aceleração constante. Vamos precisar:
- Equacionar forças e torque para achar a aceleração
do centro de massa. - Relacionar deslocamento ao longo do plano com a altura
. - Usar a fórmula do MRUV
para achar o tempo .
Passo 2
Primeiro, bora achar a aceleração
.
- Força que puxa o cilindro para baixo ao longo do plano:
. - Surge uma força de atrito estático
que impede o deslizamento. Ela cria torque e faz o cilindro girar.
Equações:
- Equilíbrio de forças na direção do plano:
- Equilíbrio de torques em torno do centro:
- Condição de rolamento sem deslizar:
Substituindo
e
:
Agora volta na equação de forças:
Cancelando
:
Passo 3
Agora a gente precisa do deslocamento
ao longo do plano. A altura
está relacionada a
por
E como o cilindro parte do repouso com aceleração constante
, vale
Passo 4
Bora juntar tudo:
Agora plugando
,
(logo
) e
:
Resposta
O tempo que o cilindro leva para atingir a base do plano é aproximadamente