Um cilindro de raio r e massa m rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado de ângulo theta=30^circ, com relação à horizontal, de uma altura h=2,5 m(Icm=1 / 2 m r^2). Calcule: (b) o tempo que o cilindro leva para atingir a base do plano.

Passo 1

Beleza, vamos mandar brasa nesse probleminha de rolagem sem deslizar de um cilindro. O enunciado diz: “Um cilindro de raio e massa rola sem deslizar por um plano inclinado de ângulo , partindo de uma altura . O momento de inércia em torno do centro de massa é . Calcule o tempo que ele leva para chegar à base.”
Conteúdo: dinâmica de corpo rígido em rolamento sem deslizamento e cinemática com aceleração constante. Vamos precisar:
  • Equacionar forças e torque para achar a aceleração do centro de massa.
  • Relacionar deslocamento ao longo do plano com a altura .
  • Usar a fórmula do MRUV para achar o tempo .

Passo 2

Primeiro, bora achar a aceleração m,g,sintheta ;-; f ;=; m,a.
  1. Força que puxa o cilindro para baixo ao longo do plano: f,r ;=; Irm cm,alpha.
  2. Surge uma força de atrito estático alpha = ar que impede o deslizamento. Ela cria torque e faz o cilindro girar.
Equações:
  • Equilíbrio de forças na direção do plano: f,r = 12,m,r^2cdotar Longrightarrow f = 12,m,a
  • Equilíbrio de torques em torno do centro: m,g,sintheta - 12,m,a = m,a Longrightarrow m,g,sintheta = m,a + 12,m,a = 32,m,a
  • Condição de rolamento sem deslizar: a = g,sintheta3/2 = 23,g,sintheta
Substituindo e :
Agora volta na equação de forças:
Cancelando :

Passo 3

Agora a gente precisa do deslocamento h = s,sintheta Longrightarrow s = hsintheta ao longo do plano. A altura s = tfrac12,a,t^2 Longrightarrow t = raiz2,sa está relacionada a por
E como o cilindro parte do repouso com aceleração constante , vale

Passo 4

Bora juntar tudo:
t = raiz2,(h/sintheta)(2/3),g,sintheta = raiz2hsintheta;cdot;32,g,sintheta = raiz3,hg,sin^2theta
Agora plugando t = raiz3cdot2,59,8cdot(0,5)^2 = raiz7,59,8cdot0,25 = raiz7,52,45 approx raiz3,061 approx 1,75 s , (logo ) e :

Resposta

O tempo que o cilindro leva para atingir a base do plano é aproximadamente
boxed1,75 segundos

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