A velocidade de uma partícula é v=6 t+3, com t em segundos e v em metros por segundo. Achar a função posição x(t). Com essa função, calcular o deslocamento entre t=0 e t=5 s.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a velocidade de uma partícula é dada por
v(t) = 6t + 3,
com em segundos e em metros por segundo. Precisamos:
  • Encontrar a função posição .
  • Calcular o deslocamento entre e s.
Conteúdo envolvido: antiderivada (integração) de uma função polinomial e uso de condição inicial (vamos assumir que , já que não foi dado outro valor).

Passo 2

Para achar v(t) = dxdt a partir de integral t^n ,dt = t^n+1n+1 + C , usamos que a velocidade é a derivada da posição:
x(t) = integral (6t + 3),dt = integral 6t,dt ;+;integral 3,dt
Então, para recuperar , basta integrar em relação a . Aqui o conteúdo teórico é a regra de potência da integração:
Aplicando em cada termo de :

Passo 3

Agora integramos terminho a terminho:
  1. x(t) = 3t^2 + 3t + C
  2. x(0) = 3cdot0^2 + 3cdot0 + C = C = 0
    Somando e colocando a constante de integração boxedx(t) = 3t^2 + 3t , temos
Como normalmente a gente assume (a partícula parte da origem), substituímos :
Logo,

Passo 4

Para achar o deslocamento entre De e x(5) = 3,(5)^2 + 3,(5) = 3cdot25 + 15 = 75 + 15 = 90 , usamos
De
Já sabemos que . Então só precisamos de :
Portanto,

Resposta

Função posição: .
Deslocamento de até : .

Exercícios relacionados