Considere uma esfera de raio R e carga Q, distribuida uniformemente sobre sua superficie, girando com velocidade angular w .
  • Calcular o potencial vetor e o campo magnético para pontos internos e externos da esfera.
  • Mostre que o momento de dipolo magnético é:
m=13 Q R^2 w

Passo 1

O enunciado pede o potencial vetor A e o campo magnético B gerados por uma casca esférica de raio R, carga total Q uniformemente distribuída sobre a superfície, girando com velocidade angular boldsymbolomega.
Conteúdos necessários: magnetostática (potencial vetor e campo magnético a partir de correntes), densidade de corrente superficial, condições de contorno em uma casca com corrente superficial, e definição de momento de dipolo magnético
m=12integral r'times J,dV (ou para corrente de superfície, m=tfrac12integral r'times K,dS).

Passo 2

Como a carga superficial é sigma=Q4pi R^2 e cada elemento na superfície tem velocidade v=boldsymbolomegatimes r' com | r'|=R, a densidade de corrente superficial é
K(theta)=sigma, v =sigmal(boldsymbolomegatimes R,hat rr) =sigma,R,omegasintheta,hatphi ,

Passo 3

Em magnetostática, para simetria azimutal só sobra a componente
Impondo em ) continuidade de : , logo .
) salto na componente tangencial dado por
Como , o salto dá , isto é
Substituindo e definindo o momento de dipolo
, obtemos em coordenadas esféricas, com eixo :
]

Passo 4

O campo magnético vem de B=nablatimes A. Em esféricas com só Aphi:
Br =1rsintheta,partialpartialthetal(Aphisinthetar), Btheta =-1r,partialpartial rl(r,Aphir)
Fazendo as contas:
para r>R (campo de dipolo),
B(r,theta) =mu04pi,r^3l[2mcostheta,hat r +msintheta,hatthetar] =mu04pi,r^3l(3( mcdothat r)hat r- mr),
para r<R (campo interno uniforme),
B(r) =2mu0,m4pi,R^3,hat z =mu0,m2pi,R^3,hat z

Passo 5

Para verificar m, usamos
m =12integral r'times K,dS' =12integral0^2pi!!integral0^pi l(Rhat rtimes(sigma,omega,Rsintheta,hatphi)r),R^2sintheta,dtheta,dphi
Ao realizar a integral só sobra componente ao longo de boldsymbolomega, e obtém-se
m =Q,R^23,omega,
isto é
boxed m=13,Q,R^2,boldsymbolomega

Resposta

Potencial vetor em esféricas (eixo
onde (\displaystyle \mathbf m=\tfrac{1}{3}Q,R^2,\boldsymbol\omega].
Campo magnético:

Momento de dipolo magnético:
]

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