Uma corrente elétrica percorre um condutor cilíndrico de raio R. A densidade de corrente é
j=kr n
onde k é uma constante, 0 <= r <= R e n um vetor unitario no eixo de simetria do condutor.
  • Verifique se esta densidade de corrente é compatível com a conservação da carga elétrica.
  • Calcule o potencial vetor e o campo magnético para pontos dentro e fora do condutor.

Passo 1

O enunciado descreve um condutor cilíndrico de raio R percorrido por uma corrente estacionária cuja densidade é
j(r)=kr,n,
onde r é a coordenada radial no interior do cilindro ( 0<r<= R) e n é o versor ao longo do eixo. Precisamos (a) verificar se nablacdotj=0 (continuidade de carga em regime estático) e (b) calcular o potencial vetor A e o campo magnético B tanto para r<R quanto para r>R.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, para um campo que só tem componente axial jz(r)=k/r vale
nablacdotj =partial jzpartial z +1rpartialpartial r(r,jr) +1rpartial jphipartial phi
mas jr=jphi=0 e jz não depende de z. Logo
nablacdotj=0,
o que mostra compatibilidade com conservação de carga (regime estacionário partialrho/partial t=0).

Passo 3

Para usar a lei de Ampère, calculamos a corrente total envolvida por um círculo de raio r<= R:
Irm encl(r) =integral0^r!jz(r'),2pi r',dr' =integral0^rkr',2pi r',dr' =2pi k,r
Para r>R a corrente total é
Irm tot=Irm encl(R)=2pi k,R

Passo 4

A lei de Ampère para caminho circular de raio r
Bphi(r),2pi r =mu0,Irm encl(r)
Assim, para r<= R
Bphi(r) =mu0,2pi k,r2pi r =mu0,k,
e para r>R
Bphi(r) =mu0,2pi k,R2pi r =mu0,k,Rr
As outras componentes de B são nulas.

Passo 5

Escolhemos a gauge de Coulomb nablacdotA=0 e assumimos A(r)=Az(r),n. Como
B=nablatimesA,
em coordenadas cilíndricas fica Bphi(r)=-dAzdr. Integrando:
para r<= R
-dAzdr=mu0,k Longrightarrow Az(r)=-mu0,k,r +Crm in,
e para r>R
-dAzdr=mu0,k,Rr Longrightarrow Az(r)=-mu0,k,Rln r +Crm out
Impondo continuidade de Az em r=R e escolhendo Crm in=0 (gauge tal que Az(0)=0) obtemos
Crm out=mu0,k,Rl(ln R-1r)

Resposta

(a) A densidade satisfaz
e o potencial vetor, em gauge de Coulomb e com (A_z(0)=0], é

Exercícios relacionados