Uma corrente elétrica percorre um condutor cilíndrico de raio
. A densidade de corrente é
onde
é uma constante,
e
um vetor unitario no eixo de simetria do condutor.
- Verifique se esta densidade de corrente é compatível com a conservação da carga elétrica.
- Calcule o potencial vetor e o campo magnético para pontos dentro e fora do condutor.
Passo 1
O enunciado descreve um condutor cilíndrico de raio
percorrido por uma corrente estacionária cuja densidade é
onde
é a coordenada radial no interior do cilindro (
) e
é o versor ao longo do eixo. Precisamos (a) verificar se
(continuidade de carga em regime estático) e (b) calcular o potencial vetor
e o campo magnético
tanto para
quanto para
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, para um campo que só tem componente axial
vale
mas
e
não depende de
. Logo
o que mostra compatibilidade com conservação de carga (regime estacionário
).
Passo 3
Para usar a lei de Ampère, calculamos a corrente total envolvida por um círculo de raio
:
Para
a corrente total é
Passo 4
A lei de Ampère para caminho circular de raio
dá
Assim, para
e para
As outras componentes de
são nulas.
Passo 5
Escolhemos a gauge de Coulomb
e assumimos
. Como
em coordenadas cilíndricas fica
. Integrando:
para
e para
Impondo continuidade de
em
e escolhendo
(gauge tal que
) obtemos
Resposta
(a) A densidade satisfaz
e o potencial vetor, em gauge de Coulomb e com (A_z(0)=0], é