O cilindro de raio R é infinito e é constituído por um material com varepsilon=2 varepsilon0. Fora temos ar. Ele se encontra carregado com uma densidade volumétrica de carga que varia segundo qv(r)=q0 rR. Calcule E para:
0;
Desenhe o gráfico E(r) indicando o valor de E(R). Explique a descontinuidade de E na fronteira entre cilindro e ar.

Passo 1

Opa, resumindo o enunciado como se a gente estivesse trocando ideia: temos um cilindro infinito de raio qv(r) ;=;q0,rR, . Dentro dele o meio é um dielétrico com D=varepsilon,E , fora é só ar ( ). A densidade volumétrica de carga dentro varia como
O que a gente precisa: calcular pro interior ( ), desenhar o gráfico de mostrando o valor em e explicar por que o campo sofre um salto na fronteira. Pra isso vamos usar a Lei de Gauss e a relação

Passo 2

Primeiro, a carga total contida num cilindro de raio Qrm enc(r) =integral0^rqv(r'),dV =integral0^rq0,r'R,(2pi r' L,dr') =2pi L,q0Rintegral0^rr'^2,dr' =2pi L,q0R,r^33 =2pi L,q0,r^33R, e comprimento :

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss para oint Dcdot dA =D(r),(2pi rL) =Qrm enc(r) =2pi L,q0,r^33R (simetria cilíndrica, D(r)=q0,r^23R, ) diz que
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Lembra que em dielétrico .

Passo 4

Como dentro do cilindro Erm in(r) =D(r)varepsilonrm in =12varepsilon0,q0,r^23R =q0,r^26,varepsilon0,R(0, temos

Passo 5

Pra fora ( Qrm enc(R) =2pi L,q0,R^23 ) usamos a carga total até Drm out(r) =Qrm enc(R)2pi rL =q0,R^23r, Erm out(r) =Drm out(r)varepsilon0 =q0,R^23,varepsilon0,r :
Em ar ( ),

Passo 6

Gráfico de Erm in(R)=q0,R6varepsilon0 :
  • Para Erm out(R)=q0,R3varepsilon0 , cresce como , chegando em
  • Para , decai como , e o limite em por fora é
Ou seja, há um salto de . Isso rola porque na interface surge carga ligada (polarização do dielétrico) e, embora seja contínuo (não há carga livre na superfície), pula quando a constante muda.

Resposta

E(r)= dfracq0,r^26,varepsilon0,R,hat r,,&0R
No ponto Erm in(R)=q0R6varepsilon0, Erm out(R)=q0R3varepsilon0 , tem-se
e a descontinuidade em é consequência da carga de polarização na superfície do dielétrico.

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