O cilindro de raio é infinito e é constituído por um material com . Fora temos ar. Ele se encontra carregado com uma densidade volumétrica de carga que varia segundo . Calcule para: ;
Desenhe o gráfico indicando o valor de . Explique a descontinuidade de na fronteira entre cilindro e ar.
Passo 1
Opa, resumindo o enunciado como se a gente estivesse trocando ideia: temos um cilindro infinito de raio . Dentro dele o meio é um dielétrico com , fora é só ar (). A densidade volumétrica de carga dentro varia como
O que a gente precisa: calcular pro interior (), desenhar o gráfico de mostrando o valor em e explicar por que o campo sofre um salto na fronteira. Pra isso vamos usar a Lei de Gauss e a relação
Passo 2
Primeiro, a carga total contida num cilindro de raio e comprimento :
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss para (simetria cilíndrica, ) diz que
Logo
Lembra que em dielétrico .
Passo 4
Como dentro do cilindro , temos
Passo 5
Pra fora () usamos a carga total até :
Em ar (),
Passo 6
Gráfico de :
Para , cresce como , chegando em
Para , decai como , e o limite em por fora é
Ou seja, há um salto de . Isso rola porque na interface surge carga ligada (polarização do dielétrico) e, embora seja contínuo (não há carga livre na superfície), pula quando a constante muda.
Resposta
No ponto Erm in(R)=q0R6varepsilon0, Erm out(R)=q0R3varepsilon0 , tem-se
e a descontinuidade em é consequência da carga de polarização na superfície do dielétrico.