Uma esfera de raio
é carregada com uma carga elétrica cuja densidade volumétrica
varia linearmente de tal forma que
e
. Considere
dentro e fora da esfera.
calcule o campo
no interior e no exterior da esfera;
calcule o campo
Passo 1
Beleza, aqui o problema diz que temos uma bola (esfera) de raio
cuja carga não é uniforme: a densidade volumétrica
cresce de forma linear, valendo zero no centro (
) e valendo
na casca externa (
). O que a gente quer é o campo elétrico
em dois casos: dentro da esfera (
) e fora dela (
).
Conteúdo: Lei de Gauss em simetria esférica, cálculo de carga contida via integral de densidade volumétrica, uso de .
Conteúdo: Lei de Gauss em simetria esférica, cálculo de carga contida via integral de densidade volumétrica, uso de
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a expressão de
. Como ela varia linearmente de
em
até
em
, escrevemos
e impomos
, daí
Passo 3
Para
, vamos calcular a carga contida dentro de uma esfera de raio
:
Q_{\rm int}®=\int_{0}{r}q_v(r’),dV=\int_{0}{r}\frac{q_0}{R}r’,(4\pi r’^2)dr’,.
Explicando: em coordenadas esféricas. Então,
Q_{\rm int}®=\int_{0}{r}q_v(r’),dV=\int_{0}{r}\frac{q_0}{R}r’,(4\pi r’^2)dr’,.
Explicando:
Passo 4
Agora aplicamos a Lei de Gauss para
:
Substituindo
:
Ou seja, dentro da esfera o campo cresce como
.
Passo 5
Para fora (
), precisamos da carga total da esfera. Basta tomar
na expressão de
:
Passo 6
Aplicando Gauss para
(campo externo), a carga eficaz é
:
Aqui vemos que, fora da esfera, o campo decai como
, igual ao de uma carga pontual de valor
.
Resposta
E® é radial e vale