Uma esfera de raio R é carregada com uma carga elétrica cuja densidade volumétrica qv(r) varia linearmente de tal forma que qv(0)=0 e qv(R)=q0. Considere varepsilon=varepsilon0 dentro e fora da esfera.
calcule o campo E(r) no interior e no exterior da esfera;

Passo 1

Beleza, aqui o problema diz que temos uma bola (esfera) de raio R cuja carga não é uniforme: a densidade volumétrica qv(r) cresce de forma linear, valendo zero no centro ( r=0) e valendo q0 na casca externa ( r=R). O que a gente quer é o campo elétrico E(r) em dois casos: dentro da esfera ( r) e fora dela ( r>R).
Conteúdo: Lei de Gauss em simetria esférica, cálculo de carga contida via integral de densidade volumétrica, uso de varepsilon=varepsilon0.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a expressão de qv(r). Como ela varia linearmente de 0 em r=0 até q0 em r=R, escrevemos
qv(r)=k,r
e impomos qv(R)=kR=q0, daí
boxedqv(r)=q0R,r

Passo 3

Para r, vamos calcular a carga contida dentro de uma esfera de raio r:
Q_{\rm int}®=\int_{0}{r}q_v(r’),dV=\int_{0}{r}\frac{q_0}{R}r’,(4\pi r’^2)dr’,.
Explicando: dV=4pi r'^2dr' em coordenadas esféricas. Então,
Qrm int(r)=4pi q0Rintegral0^rr'^3dr' =4pi q0Rcdotr^44 =pi,q0R,r^4,

Passo 4

Agora aplicamos a Lei de Gauss para r:
oint Ecdot d A=E(r),4pi r^2=Qrm int(r)varepsilon0,
Substituindo Qrm int(r):
E(r),4pi r^2=pi,q0,r^4/(R)varepsilon0 Longrightarrow E(r)=pi,q0,r^44pi,varepsilon0,R,r^2 =q04varepsilon0R;r^2,
Ou seja, dentro da esfera o campo cresce como r^2.

Passo 5

Para fora ( r>R), precisamos da carga total da esfera. Basta tomar r=R na expressão de Qrm int:
Qrm tot=Qrm int(R)=pi,q0R,R^4=pi,q0,R^3,

Passo 6

Aplicando Gauss para r>R (campo externo), a carga eficaz é Qrm tot:
E(r),4pi r^2=Qrm totvarepsilon0 Longrightarrow E(r)=pi,q0,R^34pi,varepsilon0,r^2 =q0,R^34varepsilon0,r^2,
Aqui vemos que, fora da esfera, o campo decai como 1/r^2, igual ao de uma carga pontual de valor Qrm tot.

Resposta

E® é radial e vale
boxed E(r)= dfracq04varepsilon0,R;r^2&(rR)

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