(PF-2012-2) Uma esfera homogênea e rígida rola sem deslizar sobre uma superfície plana e horizontal com velocidade angular constante. Sabendo-se que o momento de inércia de uma esfera de raio R e de massa M segundo um eixo de rotação que passa pelo centro de massa é igual (2 / 5) M R^{2}, a razão entre a energia cinética de rotação da esfera em torno do centro de massa e a sua energia cinética de translação é dada por:
(a) 1 / 5.
(b) 1 / 2;
(c) 2 / 5;
(d) 1 ;
(e) 4 / 5.

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera sólida e homogênea de massa M e raio R que rola sem deslizar com velocidade angular constante \omega. O momento de inércia em torno do centro de massa é
I_{\text{cm}} = \tfrac{2}{5}\,M R^{2}.
Queremos a razão entre a energia cinética de rotação da esfera em torno do centro de massa e a energia cinética de translação do centro de massa.

Passo 2

Escrevemos a energia cinética de rotação em torno do centro de massa:
K_{\text{rot}} = \tfrac{1}{2}\,I_{\text{cm}}\,\omega^{2} = \tfrac{1}{2}\,\bigl(\tfrac{2}{5} M R^{2}\bigr)\,\omega^{2} = \tfrac{1}{5}\,M R^{2}\,\omega^{2}.

Passo 3

Escrevemos a energia cinética de translação do centro de massa, sabendo que a esfera rola sem deslizar, logo a velocidade do centro de massa é v = \omega R:
K_{\text{trans}} = \tfrac{1}{2}\,M v^{2} = \tfrac{1}{2}\,M (\omega R)^{2} = \tfrac{1}{2}\,M R^{2}\,\omega^{2}.

Passo 4

Agora formamos a razão procurada:
\frac{K_{\text{rot}}}{K_{\text{trans}}} = \frac{\tfrac{1}{5}\,M R^{2}\,\omega^{2}}{\tfrac{1}{2}\,M R^{2}\,\omega^{2}} = \frac{\tfrac{1}{5}}{\tfrac{1}{2}} = \tfrac{2}{5}.

Resposta

(c) \tfrac{2}{5}

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