Uma casca hemisférica uniforme apoia-se sobre um plano inclinado de ângulo theta e está prestes a perder o equilíbrio. O lado redondo da casca está em contato com o plano e o coeficiente de atrito é mu. Encontre a inclinação da casca.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre uma casca hemisférica uniforme que está apoiada em um plano inclinado com ângulo theta. Queremos descobrir qual é esse ângulo theta quando a casca está prestes a perder o equilíbrio. Para isso, vamos usar conceitos de estática, como forças, equilíbrio de torques e atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na casca hemisférica:
  1. Peso ( P): Atua para baixo, no centro de massa da casca.
  2. Força Normal ( N): Perpendicular ao plano inclinado, empurra a casca contra o plano.
  3. Força de Atrito ( f): Paralela ao plano inclinado, impede que a casca deslize.
Essas forças são fundamentais para analisar o equilíbrio da casca.

Passo 3

Vamos decompor o peso ( P = mg) em duas componentes:
  • Paralela ao plano: P|| = mg sintheta
  • Perpendicular ao plano: Pperp = mg costheta
Isso facilita na hora de analisar as forças que equilibram a casca.

Passo 4

No equilíbrio, a força normal ( N) equilibra a componente perpendicular do peso:
N = Pperp = mg costheta
Isso nos dá a força normal em termos do peso e do ângulo do plano.

Passo 5

A força de atrito máxima que pode agir na casca antes de ela deslizar é:
f = mu N = mu mg costheta
Aqui, mu é o coeficiente de atrito entre a casca e o plano inclinado.

Passo 6

Para que a casca esteja prestes a perder o equilíbrio, o momento causado pelo peso deve ser igual ao momento causado pela força de atrito. Vamos considerar o centro de massa da casca a uma altura h do ponto de apoio.
O torque devido ao peso é:
tauP = mg cdot h cdot sintheta
E o torque devido à atrito é:
tauf = f cdot R = mu mg costheta cdot R
Onde R é o raio da casca hemisférica.

Passo 7

Igualando os torques para o equilíbrio:
mg cdot h cdot sintheta = mu mg costheta cdot R
Podemos cancelar mg de ambos os lados:
h sintheta = mu R costheta

Passo 8

Agora, precisamos saber onde está o centro de massa da casca hemisférica. Para uma casca hemisférica uniforme, o centro de massa está a uma altura de:
h = 3R8
Substituindo na equação anterior:
3R8 sintheta = mu R costheta

Passo 9

Cancelando R de ambos os lados:
38 sintheta = mu costheta
Dividindo ambos os lados por costheta:
38 tantheta = mu

Passo 10

Isolando tantheta:
tantheta = 8mu3
Para encontrar theta, aplicamos a função arctan:
theta = arctan(8mu3)

Resposta

A inclinação da casca é dada por:
theta = arctan(8,mu3)

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