Uma casca hemisférica uniforme apoia-se sobre um plano inclinado de ângulo
e está prestes a perder o equilíbrio. O lado redondo da casca está em contato com o plano e o coeficiente de atrito é
. Encontre a inclinação da casca.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre uma casca hemisférica uniforme que está apoiada em um plano inclinado com ângulo
. Queremos descobrir qual é esse ângulo
quando a casca está prestes a perder o equilíbrio. Para isso, vamos usar conceitos de estática, como forças, equilíbrio de torques e atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na casca hemisférica:
- Peso (
): Atua para baixo, no centro de massa da casca. - Força Normal (
): Perpendicular ao plano inclinado, empurra a casca contra o plano. - Força de Atrito (
): Paralela ao plano inclinado, impede que a casca deslize.
Essas forças são fundamentais para analisar o equilíbrio da casca.
Passo 3
Vamos decompor o peso (
) em duas componentes:
- Paralela ao plano:
- Perpendicular ao plano:
Isso facilita na hora de analisar as forças que equilibram a casca.
Passo 4
No equilíbrio, a força normal (
) equilibra a componente perpendicular do peso:
Isso nos dá a força normal em termos do peso e do ângulo do plano.
Passo 5
A força de atrito máxima que pode agir na casca antes de ela deslizar é:
Aqui,
é o coeficiente de atrito entre a casca e o plano inclinado.
Passo 6
Para que a casca esteja prestes a perder o equilíbrio, o momento causado pelo peso deve ser igual ao momento causado pela força de atrito. Vamos considerar o centro de massa da casca a uma altura
do ponto de apoio.
O torque devido ao peso é:
E o torque devido à atrito é:
Onde
é o raio da casca hemisférica.
Passo 7
Igualando os torques para o equilíbrio:
Podemos cancelar
de ambos os lados:
Passo 8
Agora, precisamos saber onde está o centro de massa da casca hemisférica. Para uma casca hemisférica uniforme, o centro de massa está a uma altura de:
Substituindo na equação anterior:
Passo 9
Cancelando
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 10
Isolando
:
Para encontrar
, aplicamos a função arctan:
Resposta
A inclinação da casca é dada por: