1. Um cilindro de revolução é dividido em dois semicilindros. Sendo 20 \pi \mathrm{~cm}^{2} sua área da base e 8 cm sua altura, determine a área total do semicilindro.

Passo 1

O enunciado fala de um cilindro de revolução de área da base igual a 20\pi\\ \mathrm{cm}^2 e altura igual a 8\\ \mathrm{cm}, cortado ao longo de um plano que passa pelo eixo, formando dois semicilindros. Precisamos calcular a área total de um desses semicilindros. Para isso vamos usar:
– a relação da área da base circular \pi r^2,
– a área lateral do cilindro 2\pi r h,
– e a área do retângulo gerado pelo corte (altura vezes diâmetro).

Passo 2

Da área da base do cilindro original temos
\pi r^2 = 20\pi
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r^2 = 20 \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.

Passo 3

Cada semicilindro resultante tem três tipos de superfícies:
  1. Duas bases semicirculares (no topo e na base).
  2. A metade da superfície lateral do cilindro.
  3. O retângulo gerado pelo corte, cujas dimensões são altura h e diâmetro 2r.

Passo 4

As áreas são:
– Duas semicircunferências juntas equivalem a um círculo de área
\pi r^2.
– Metade da superfície lateral do cilindro:
\frac12\bigl(2\pi r h\bigr)=\pi r h.
– Área do retângulo do corte:
(2r)\,h = 2rh.

Passo 5

Somando tudo e substituindo r=2\sqrt5 e h=8:
A_{\text{total}} =\pi r^2+\pi r h+2rh =20\pi +\pi\,(2\sqrt5)\,8 +2\,(2\sqrt5)\,8.
Isso dá
20\pi +16\sqrt5\,\pi +32\sqrt5 =\pi\bigl(20+16\sqrt5\bigr)+32\sqrt5\quad\bigl(\mathrm{cm}^2\bigr).

Resposta

\pi\bigl(20+16\sqrt5\bigr)+32\sqrt5\\ \mathrm{cm}^2

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