Uma fina arruela plana é um disco com um diâmetro de 10,00 c m e um buraco no centro com um diâmetro de 4,00 c m. A arruela tem uma distribuição de carga uniforme e uma carga total de 7,00 n C. Qual é o campo elétrico no eixo da arruela a uma distância de 30,00 c m do centro da arruela?

Passo 1

O que o problema pede: calcular o campo elétrico no eixo de uma arruela plana (um disco com buraco) a uma distância de 0,30\\ \mathrm{m} do centro. Pedem o valor do campo elétrico (módulo e, se quiser, direção).
Informações dadas:
\; - diâmetro externo da arruela: 10{,}00\\ \mathrm{cm}\Rightarrow raio externo \;R_\text{out}=5{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
\; - diâmetro do furo (interno): 4{,}00\\ \mathrm{cm}\Rightarrow raio interno \;R_\text{in}=2{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
\; - carga total da arruela: \;Q=7{,}00\\ \mathrm{nC}=7{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
\; - ponto onde queremos o campo: no eixo da arruela a z=30{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m} do centro, perpendicular ao plano da arruela.
Observação: a arruela tem distribuição de carga superficial uniforme (densidade superficial \sigma constante). A resolução começará usando superposição: arruela = disco de raio R_\text{out} menos disco de raio R_\text{in}.

Passo 2

Ideia física e método (sem cálculos ainda): vamos obter o campo elétrico no eixo de um disco uniformemente carregado por integração de anéis concêntricos; depois aplicamos superposição para subtrair o disco interno (o furo). Em seguida calculamos \sigma a partir de Q e da área da arruela e substituímos os valores numéricos.
Antes de integrar, vou apresentar a fórmula do campo no eixo de um disco de raio R com densidade superficial \sigma, que obtém-se integrando anéis elementares. Vou deduzir essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Campo no eixo de um anel carregado (pequena lição para a integração). Considere um anel de raio r, largura infinitesimal dr, densidade superficial \sigma. Carga do anel:
dq=\sigma\cdot(\text{área do anel})=\sigma\cdot(2\pi r\,dr).á
O campo no ponto do eixo a distância z do centro, devido ao anel, tem componente axial (pela simetria radial as componentes transversais cancelam). Módulo do campo devido a uma carga pontual dq distribuída ao longo do anel, somando todos os elementos do anel, resulta em
dE_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq\cdot z}{\left(z^2+r^2\right)^{3/2}}.
Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e o fator z/(z^2+r^2)^{1/2} é o cosseno do ângulo entre o elemento de campo e o eixo.

Passo 4

Integração para o disco (anéis de r=0 até r=R). Substituindo dq e integrando:
E_z(R)=\int_{0}^{R}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma(2\pi r\,dr)\,z}{\left(z^2+r^2\right)^{3/2}}.
Simplificando constantes:
E_z(R)=\frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{\left(z^2+r^2\right)^{3/2}}.
Agora resolvemos a integral. Faça a substituição u=z^2+r^2\Rightarrow du=2r\,dr. Então r\,dr=\tfrac{1}{2}du e quando r=0 temos u=z^2, quando r=R temos u=z^2+R^2. A integral torna-se
\int_{z^2}^{z^2+R^2}\frac{\tfrac{1}{2}du}{u^{3/2}}=\frac{1}{2}\left[-\frac{2}{\sqrt{u}}\right]_{z^2}^{z^2+R^2}=\left[-\frac{1}{\sqrt{u}}\right]_{z^2}^{z^2+R^2}=\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{z^2+R^2}}.
Substituindo de volta em E_z(R):
E_z(R)=\frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{z^2+R^2}}\right).
Cancelando z no primeiro termo:
E_z(R)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right).
Essa é a fórmula padrão: campo no eixo de um disco carregado de raio R.

Passo 5

Campo da arruela por superposição: arruela = disco de raio R_\text{out} com densidade \sigma menos disco de raio R_\text{in} com mesma densidade \sigma. Portanto
E_z(\text{arruela})=E_z(R_\text{out})-E_z(R_\text{in}).
Usando a fórmula do disco:
E_z=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R_\text{out}^2}}\right)-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R_\text{in}^2}}\right).
Os termos 1 cancelam parcialmente, resultando numa forma mais compacta:
E_z=\frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{\sqrt{z^2+R_\text{in}^2}}-\frac{1}{\sqrt{z^2+R_\text{out}^2}}\right).

Passo 6

Cálculo da densidade superficial \sigma a partir da carga total da arruela Q. A área da arruela é a área do anel:
A=\pi\left(R_\text{out}^2-R_\text{in}^2\right).
Logo
\sigma=\frac{Q}{A}=\frac{Q}{\pi\left(R_\text{out}^2-R_\text{in}^2\right)}.
Agora substituímos os valores numéricos em unidades do SI: Q=7{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, R_\text{out}=0{,}05\\ \mathrm{m}, R_\text{in}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
Calcule a área:
R_\text{out}^2-R_\text{in}^2=0{,}05^2-0{,}02^2=0{,}0025-0{,}0004=0{,}0021\\ \mathrm{m}^2,
A=\pi\cdot0{,}0021\approx0{,}0021\pi\\ \mathrm{m}^2.
Agora \sigma:
\sigma=\frac{7{,}00\times10^{-9}}{0{,}0021\pi}\approx\frac{7{,}00\times10^{-9}}{0{,}00659734}\approx1{,}061\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^2}.

Passo 7

Substituir tudo na expressão de E_z. Use \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)} e z=0{,}30\\ \mathrm{m}.
Primeiro calcule o fator \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}:
\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\approx\frac{1{,}061\times10^{-6}}{2\cdot8{,}854187817\times10^{-12}}=\frac{1{,}061\times10^{-6}}{1{,}7708375634\times10^{-11}}\approx5{,}991\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.
Calcule agora as raízes:
\sqrt{z^2+R_\text{out}^2}=\sqrt{0{,}30^2+0{,}05^2}=\sqrt{0{,}09+0{,}0025}=\sqrt{0{,}0925}\approx0{,}304138\\ \mathrm{m},
\sqrt{z^2+R_\text{in}^2}=\sqrt{0{,}30^2+0{,}02^2}=\sqrt{0{,}09+0{,}0004}=\sqrt{0{,}0904}\approx0{,}300666\\ \mathrm{m}.
Calcule os termos \left(1-\dfrac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right) separadamente (ou use a forma compacta com a diferença das recíprocas):
1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R_\text{out}^2}}\approx1-\frac{0{,}30}{0{,}304138}\approx1-0{,}98622\approx0{,}01378,
1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R_\text{in}^2}}\approx1-\frac{0{,}30}{0{,}300666}\approx1-0{,}99778\approx0{,}00222.
Diferença:
\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R_\text{out}^2}}\right)-\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R_\text{in}^2}}\right)\approx0{,}01378-0{,}00222=0{,}01156.
Agora o campo:
E_z\approx\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\times0{,}01156\approx5{,}991\times10^{4}\times0{,}01156\approx6{,}95\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 8

Interpretação da direção: a arruela tem carga total positiva ( Q>0). No eixo, para z>0 (ponto acima do disco), o campo aponta para fora da superfície carregada, isto é, no sentido positivo do eixo (afastando-se da arruela). Se a carga fosse negativa, o sentido seria oposto.

Resposta

E\approx6{,}95\times10^{2}\\ \mathrm{N/C} (no eixo, apontando para longe da arruela se a carga for positiva)

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