Uma fina arruela plana é um disco com um diâmetro de 10,00 c m e um buraco no centro com um diâmetro de 4,00 c m. A arruela tem uma distribuição de carga uniforme e uma carga total de 7,00 n C. Qual é o campo elétrico no eixo da arruela a uma distância de 30,00 c m do centro da arruela?
Passo 1
O que o problema pede: calcular o campo elétrico no eixo de uma arruela plana (um disco com buraco) a uma distância de 0,30\\ \mathrm{m} do centro. Pedem o valor do campo elétrico (módulo e, se quiser, direção).
Informações dadas: \; - diâmetro externo da arruela: 10{,}00\\ \mathrm{cm}\Rightarrow raio externo \;R_\text{out}=5{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}. \; - diâmetro do furo (interno): 4{,}00\\ \mathrm{cm}\Rightarrow raio interno \;R_\text{in}=2{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}. \; - carga total da arruela: \;Q=7{,}00\\ \mathrm{nC}=7{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}. \; - ponto onde queremos o campo: no eixo da arruela a z=30{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m} do centro, perpendicular ao plano da arruela.
Observação: a arruela tem distribuição de carga superficial uniforme (densidade superficial \sigma constante). A resolução começará usando superposição: arruela = disco de raio R_\text{out} menos disco de raio R_\text{in}.
Passo 2
Ideia física e método (sem cálculos ainda): vamos obter o campo elétrico no eixo de um disco uniformemente carregado por integração de anéis concêntricos; depois aplicamos superposição para subtrair o disco interno (o furo). Em seguida calculamos \sigma a partir de Q e da área da arruela e substituímos os valores numéricos.
Antes de integrar, vou apresentar a fórmula do campo no eixo de um disco de raio R com densidade superficial \sigma, que obtém-se integrando anéis elementares. Vou deduzir essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Campo no eixo de um anel carregado (pequena lição para a integração). Considere um anel de raio r, largura infinitesimal dr, densidade superficial \sigma. Carga do anel:
dq=\sigma\cdot(\text{área do anel})=\sigma\cdot(2\pi r\,dr).
O campo no ponto do eixo a distância z do centro, devido ao anel, tem componente axial (pela simetria radial as componentes transversais cancelam). Módulo do campo devido a uma carga pontual dq distribuída ao longo do anel, somando todos os elementos do anel, resulta em
Agora resolvemos a integral. Faça a substituição u=z^2+r^2\Rightarrow du=2r\,dr. Então r\,dr=\tfrac{1}{2}du e quando r=0 temos u=z^2, quando r=R temos u=z^2+R^2. A integral torna-se
Essa é a fórmula padrão: campo no eixo de um disco carregado de raio R.
Passo 5
Campo da arruela por superposição: arruela = disco de raio R_\text{out} com densidade \sigma menos disco de raio R_\text{in} com mesma densidade \sigma. Portanto
Agora substituímos os valores numéricos em unidades do SI: Q=7{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, R_\text{out}=0{,}05\\ \mathrm{m}, R_\text{in}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
Calcule a área:
Substituir tudo na expressão de E_z. Use \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)} e z=0{,}30\\ \mathrm{m}.
Primeiro calcule o fator \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}:
Interpretação da direção: a arruela tem carga total positiva (Q>0). No eixo, para z>0 (ponto acima do disco), o campo aponta para fora da superfície carregada, isto é, no sentido positivo do eixo (afastando-se da arruela). Se a carga fosse negativa, o sentido seria oposto.
Resposta
E\approx6{,}95\times10^{2}\\ \mathrm{N/C} (no eixo, apontando para longe da arruela se a carga for positiva)