Determine a força entre um disco de raio R carregado com densidade de carga uniforme \sigma e uma haste de comprimento L e densidade linear \lambda colocada no eixo do disco, a uma distância b deste.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a força entre um disco uniforme e uma haste colocada no eixo do disco. Dados fornecidos (listei para ficar cristalino):
o disco tem raio R e densidade de carga superficial uniforme \sigma;
a haste tem comprimento L e densidade linear de carga \lambda;
a haste está colocada no eixo do disco, com a extremidade mais próxima do disco à distância b do plano do disco.
Pressuposição de posicionamento que vou usar sem perguntar: o disco está no plano z=0 centrado na origem e a haste está ao longo do eixo z, ocupando o intervalo z\in[b,b+L]. A tarefa é calcular a força elétrica resultante que o disco exerce sobre a haste (módulo e direção, dependendo dos sinais de \sigma e \lambda).
Passo 2
Vamos primeiro achar o campo elétrico \vec{E}(z) produzido pelo disco no eixo (campo gerado por uma superfície carregada). Vou derivar essa fórmula passo a passo — isso é útil para a prova e para entender o que vem depois.
Ideia física e elemento de carga: decomponho o disco em anéis de raio r' e espessura dr'. A carga do anel é
dq = \sigma\cdot(\text{área do anel}) = \sigma\cdot 2\pi r' dr'.
Campo no ponto do eixo: considere um ponto sobre o eixo a uma distância z do plano do disco. Pelo princípio de superposição, o campo total no eixo é a soma dos campos de cada anel. O campo gerado por um anel no eixo aponta ao longo do eixo; sua componente axial vale (usando a simetria e a lei de Coulomb):
Interpretação de sinal/direção: se \sigma>0 e z>0 (ponto no lado positivo do eixo), E_z(z)>0 e o campo aponta no sentido positivo de z (afastando cargas positivas do disco). Se \sigma e \lambda tiverem sinais opostos, a força é atrativa; se tiverem o mesmo sinal, a força é repulsiva.
Passo 3
Agora calculamos a força sobre a haste, integrando a força em cada elemento de comprimento dz da haste. Um elemento de comprimento em posição z tem carga
dq_{\text{haste}}=\lambda\,dz.
A força sobre esse elemento é dF = dq_{\text{haste}}\;E_z(z) (produto escalar reduzido aqui, pois tudo está ao longo do eixo). Assim o módulo da força total é
Unidades: \lambda\sigma/\varepsilon_0 tem unidades de força por comprimento, multiplicado pelo termo entre parênteses (comprimento) dá força, portanto dimensionalmente consistente.
Direção: a expressão acima é o módulo com sinal positivo como escrita (assumindo que \sigma e \lambda são positivas, isso dá F>0 que significa empurrando a haste para +z, ou seja repulsão). Para incorporar o sinal geral, a forma vetorial é