Determine a força entre um disco de raio R carregado com densidade de carga uniforme \sigma e uma haste de comprimento L e densidade linear \lambda colocada no eixo do disco, a uma distância b deste.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a força entre um disco uniforme e uma haste colocada no eixo do disco. Dados fornecidos (listei para ficar cristalino):
  • o disco tem raio R e densidade de carga superficial uniforme \sigma;
  • a haste tem comprimento L e densidade linear de carga \lambda;
  • a haste está colocada no eixo do disco, com a extremidade mais próxima do disco à distância b do plano do disco.
    Pressuposição de posicionamento que vou usar sem perguntar: o disco está no plano z=0 centrado na origem e a haste está ao longo do eixo z, ocupando o intervalo z\in[b,b+L]. A tarefa é calcular a força elétrica resultante que o disco exerce sobre a haste (módulo e direção, dependendo dos sinais de \sigma e \lambda).

Passo 2

Vamos primeiro achar o campo elétrico \vec{E}(z) produzido pelo disco no eixo (campo gerado por uma superfície carregada). Vou derivar essa fórmula passo a passo — isso é útil para a prova e para entender o que vem depois.
  1. Ideia física e elemento de carga: decomponho o disco em anéis de raio r' e espessura dr'. A carga do anel é
dq = \sigma\cdot(\text{área do anel}) = \sigma\cdot 2\pi r' dr'.á
  1. Campo no ponto do eixo: considere um ponto sobre o eixo a uma distância z do plano do disco. Pelo princípio de superposição, o campo total no eixo é a soma dos campos de cada anel. O campo gerado por um anel no eixo aponta ao longo do eixo; sua componente axial vale (usando a simetria e a lei de Coulomb):
dE_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{dq\; z}{\big(z^2+r'^2\big)^{3/2}}.
Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, e a razão z/(z^2+r'^2)^{3/2} vem da projeção axial da contribuição do anel.
  1. Substituindo dq:
dE_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\sigma\;2\pi r' dr'\; z}{\big(z^2+r'^2\big)^{3/2}} = \frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\;\frac{r' dr'}{\big(z^2+r'^2\big)^{3/2}}.
  1. Integrando r' de 0 a R:
    calcule a integral
\int_{0}^{R}\frac{r' dr'}{\big(z^2+r'^2\big)^{3/2}}.
Faça a substituição u=z^2+r'^2, então du=2r' dr'. Assim
\int_{0}^{R}\frac{r' dr'}{\big(z^2+r'^2\big)^{3/2}}=\frac{1}{2}\int_{z^2}^{z^2+R^2}u^{-3/2}du = -\left.\frac{1}{\sqrt{u}}\right|_{z^2}^{z^2+R^2} = \frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{z^2+R^2}}.
(Verifique: derive \sqrt{z^2+r'^2} para ver que a antiderivada produz o termo correto.)
  1. Portanto o campo axial produzido pelo disco no ponto a distância z é
E_z(z)=\frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{z^2+R^2}}\right) =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right).
  1. Interpretação de sinal/direção: se \sigma>0 e z>0 (ponto no lado positivo do eixo), E_z(z)>0 e o campo aponta no sentido positivo de z (afastando cargas positivas do disco). Se \sigma e \lambda tiverem sinais opostos, a força é atrativa; se tiverem o mesmo sinal, a força é repulsiva.

Passo 3

Agora calculamos a força sobre a haste, integrando a força em cada elemento de comprimento dz da haste. Um elemento de comprimento em posição z tem carga
dq_{\text{haste}}=\lambda\,dz.
A força sobre esse elemento é dF = dq_{\text{haste}}\;E_z(z) (produto escalar reduzido aqui, pois tudo está ao longo do eixo). Assim o módulo da força total é
F=\int_{z=b}^{b+L}\lambda\,E_z(z)\,dz =\lambda\int_{b}^{b+L}\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right)dz.
Factorizando constantes:
F=\frac{\lambda\sigma}{2\varepsilon_0}\int_{b}^{b+L}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right)dz.

Passo 4

Calcule a integral explicitamente.
  1. Indefinida: note que
\int\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right)dz = z - \sqrt{z^2+R^2} + C,
porque \frac{d}{dz}\sqrt{z^2+R^2}=\dfrac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}.
  1. Aplicando os limites b até b+L:
\int_{b}^{b+L}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right)dz =\bigg[z-\sqrt{z^2+R^2}\bigg]_{b}^{b+L} = L -\Big(\sqrt{(b+L)^2+R^2}-\sqrt{b^2+R^2}\Big).
  1. Portanto a força escalar é
F=\frac{\lambda\sigma}{2\varepsilon_0}\left(L -\sqrt{(b+L)^2+R^2}+\sqrt{b^2+R^2}\right).

Passo 5

Interpretações finais e verificação rápida:
  • Unidades: \lambda\sigma/\varepsilon_0 tem unidades de força por comprimento, multiplicado pelo termo entre parênteses (comprimento) dá força, portanto dimensionalmente consistente.
  • Direção: a expressão acima é o módulo com sinal positivo como escrita (assumindo que \sigma e \lambda são positivas, isso dá F>0 que significa empurrando a haste para +z, ou seja repulsão). Para incorporar o sinal geral, a forma vetorial é
\vec{F}=\hat{z}\,\frac{\lambda\sigma}{2\varepsilon_0}\left(L -\sqrt{(b+L)^2+R^2}+\sqrt{b^2+R^2}\right),
onde o sentido efetivo depende do sinal do produto \lambda\sigma.

Resposta

F=\frac{\lambda\sigma}{2\varepsilon_0}\left(L -\sqrt{(b+L)^2+R^2}+\sqrt{b^2+R^2}\right).

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