Um cilindro solido de massa M e raio R inicialmente em repouso, rola sem dedizar para baixo em um plano inclinado de comprimento L e altura h. O momento de inércia do cilindro em relaçlo ao centro de massa e I-M R^2 / 2. (as respostas devem ser dadas em termos de M, R, L, h in g).
Encontre a aceleracio do centro de massa

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro sólido com massa $ M $ e raio $ R $ que está rolando sem deslizar por um plano inclinado com comprimento $ L $ e altura $ h $. A parada inicial é que ele começa parado. Queremos descobrir qual é a aceleração do centro de massa desse cilindro enquanto ele desce pelo plano. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas leis da física relacionadas a movimento circular e translação, além da condição de rolamento sem deslizar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a inclinação do plano. O plano inclinado forma um triângulo retângulo onde $ h $ é a altura e $ L $ é a hipotenusa (comprimento do plano). A inclinação do plano, ou seja, o ângulo $ \theta $, pode ser encontrado usando o seno:
h

Passo 3

Agora, vamos pensar nas forças atuando no cilindro. A força gravitacional que faz o cilindro descer o plano é a componente da gravidade paralela ao plano, que é:
Fpara<=la = M cdot g cdot sin(theta)
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Como o cilindro está rolando sem deslizar, há uma força de atrito estático ($ f $) que impede o deslizamento e proporciona o torque necessário para a rotação. Essa força de atrito não está realizando trabalho, mas está relacionada à aceleração linear $ a $ e à aceleração angular $ \alpha $ do cilindro. A condição de rolamento sem deslizar é:
f

Passo 5

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a transllação e para a rotação. Para a translatação, temos:
M cdot a = M cdot g cdot sin(theta) - f
E para a rotação, o torque ($ \tau $) causado pela força de atrito é:
tau
Onde $ I $ é o momento de inércia do cilindro. Sabemos que $ I = \frac{1}{2} M R^2 $.

Passo 6

Substituindo a condição de rolamento $ a = R \cdot \alpha $ na equação do torque:
a = R cdot alpha
Simplificando:
f cdot R = 12 M R^2 cdot aR

Passo 7

Agora, substituímos $ f $ na equação da translatação:
f
Vamos juntar os termos com $ a $:
M cdot a = M cdot g cdot sin(theta) - 12 M a
a

Passo 8

Agora, isolamos $ a $:
a
Lembrando que $ \sin(\theta) = \frac{h}{L} $, substituímos:
a = 23 g cdot sin(theta)

Resposta

A aceleração do centro de massa do cilindro é:
a = 2 g h3 L

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