Um cilindro solido de massa
e raio
inicialmente em repouso, rola sem dedizar para baixo em um plano inclinado de comprimento
e altura
. O momento de inércia do cilindro em relaçlo ao centro de massa e
. (as respostas devem ser dadas em termos de
.
Encontre a aceleracio do centro de massa
Encontre a aceleracio do centro de massa
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro sólido com massa $ M $ e raio $ R $ que está rolando sem deslizar por um plano inclinado com comprimento $ L $ e altura $ h $. A parada inicial é que ele começa parado. Queremos descobrir qual é a aceleração do centro de massa desse cilindro enquanto ele desce pelo plano. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas leis da física relacionadas a movimento circular e translação, além da condição de rolamento sem deslizar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a inclinação do plano. O plano inclinado forma um triângulo retângulo onde $ h $ é a altura e $ L $ é a hipotenusa (comprimento do plano). A inclinação do plano, ou seja, o ângulo $ \theta $, pode ser encontrado usando o seno:
Passo 3
Agora, vamos pensar nas forças atuando no cilindro. A força gravitacional que faz o cilindro descer o plano é a componente da gravidade paralela ao plano, que é:
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 4
Como o cilindro está rolando sem deslizar, há uma força de atrito estático ($ f $) que impede o deslizamento e proporciona o torque necessário para a rotação. Essa força de atrito não está realizando trabalho, mas está relacionada à aceleração linear $ a $ e à aceleração angular $ \alpha $ do cilindro. A condição de rolamento sem deslizar é:
Passo 5
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a transllação e para a rotação. Para a translatação, temos:
E para a rotação, o torque ($ \tau $) causado pela força de atrito é:
Onde $ I $ é o momento de inércia do cilindro. Sabemos que $ I = \frac{1}{2} M R^2 $.
Passo 6
Substituindo a condição de rolamento $ a = R \cdot \alpha $ na equação do torque:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos $ f $ na equação da translatação:
Vamos juntar os termos com $ a $:
Passo 8
Agora, isolamos $ a $:
Lembrando que $ \sin(\theta) = \frac{h}{L} $, substituímos:
Resposta
A aceleração do centro de massa do cilindro é: