Um cilindro solido de massa
e raio
inicialmente em repouso, rola sem dedizar para baixo em um plano inclinado de comprimento
e altura
. O momento de inércia do cilindro em relaçlo ao centro de massa e
. (as respostas devem ser dadas em termos de
.
Qual o valor minimo do coeficiente de atrito estitico necessirio para que ocorra o rolamento sem deslizamento?
Qual o valor minimo do coeficiente de atrito estitico necessirio para que ocorra o rolamento sem deslizamento?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos um cilindro sólido de massa $ M $ e raio $ R $ que está rolando sem deslizar por um plano inclinado com comprimento $ L $ e altura $ h $. Nosso objetivo é encontrar o valor mínimo do coeficiente de atrito estático necessário para que esse rolamento sem deslizamento aconteça. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e estática, além de aplicar algumas fórmulas básicas da física.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a inclinação do plano. Sabemos que o comprimento do plano é $ L $ e a altura é $ h $. Podemos encontrar o ângulo $ \theta $ da inclinação usando a relação trigonométrica:
Passo 3
Agora, vamos analisar as forças atuando no cilindro. Há duas forças principais: a força peso ($ mg
f $) que impede o deslizamento. Como o cilindro está rolando sem deslizar, a força de atrito estático é responsável por fornecer o torque necessário para a rotação.
Passo 4
A componente da força peso que faz o cilindro deslizar para baixo é $ mg \sin(\theta) $, e a força de atrito $ f $ age na direção oposta, ou seja, para cima do plano. Então, a força resultante que causa a aceleração do cilindro é:
onde $ a $ é a aceleração linear do cilindro.
Passo 5
Além disso, o torque causado pela força de atrito é o que faz o cilindro girar. O torque ($ \tau $) é dado por:
onde $ I $ é o momento de inércia do cilindro e $ \alpha $ é a aceleração angular. Sabemos que $ I = \frac{1}{2} M R^{2} $ e que, como o cilindro está rolando sem deslizar, a relação entre a aceleração linear e angular é $ a = R \alpha $.
Passo 6
Substituindo $ \alpha = \frac{a}{R} $ na equação do torque, temos:
Passo 7
Agora, vamos substituir $ f $ na equação da força resultante:
Passo 8
A força de atrito $ f $ é ainda dada por:
Passo 9
O coeficiente de atrito estático $ \mu_s $ é definido como:
onde $ N $ é a força normal. No plano inclinado, $ N = mg \cos(\theta) $.
Passo 10
Substituindo $ f $ e $ N $ na fórmula do coeficiente de atrito:
Resposta
O valor mínimo do coeficiente de atrito estático necessário para que ocorra o rolamento sem deslizamento é: