Suponha que uma escada de comprimento l=3,04 m, com massa m1=13,3 kg. repouse contra uma parede lisa em um ingulo de theta=24,8^circ. Um estudante, que tem massa de pim=62.0 kg, esth em pé na escads em um degrau que dista, ao longo da escada, r=1.43 m, medindo de onde a escada toca o chIo.
Que forca de atrito deve atuar na base da escada para mante-la no lugar, sem escorregar? Despreze a (pequena) força de atrito entre a parede lisa e a escada.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma escada de 3,04 metros de comprimento e 13,3 kg de massa, que está encostada numa parede lisa formando um ângulo de 24,8 graus com o chão. Um estudante de 62,0 kg está subindo na escada, a 1,43 metros do pé. Precisamos descobrir qual a força de atrito na base da escada para que ela não deslize. Vamos usar conceitos de estática e equilíbrio de forças para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na escada:
  1. Peso da escada ( P1): Atua no centro da escada, que está a metade do comprimento, ou seja, a 1,52 m do chão.
  2. Peso do estudante ( P2): Atua a 1,43 m do chão, conforme dado.
  3. Reação na parede ( N): Como a parede é lisa, essa força é apenas horizontal.
  4. Reação na base da escada ( R): Tem uma componente vertical ( Ry) e uma horizontal ( Fatrito).

Passo 3

Vamos calcular os pesos:
  • Peso da escada: P1 = m1 cdot g = 13,3 , kg cdot 9,81 , m/s² = 130,6 , N²
  • Peso do estudante: P2 = m2 cdot g = 62,0 , kg cdot 9,81 , m/s² = 607,2 , N²

Passo 4

Como a escada está em equilíbrio, a soma das forças na horizontal e na vertical deve ser zero, e a soma dos momentos também deve ser zero.

Passo 5

Vamos considerar os momentos em relação ao ponto de contato com o chão para eliminar Ry e Fatrito das equações:
sum M = 0
Tomando o sentido anti-horário como positivo.

Passo 6

Calculando os momentos:
  • Momento do peso da escada: P1 cdot l2 cdot cos(theta)
  • Momento do peso do estudante: P2 cdot r cdot cos(theta)
  • Momento da reação na parede: N cdot l cdot sin(theta)
Então:
P1 cdot l2 cdot cos(theta) + P2 cdot r cdot cos(theta) = N cdot l cdot sin(theta)

Passo 7

Vamos substituir os valores:
130,6 cdot 3,042 cdot cos(24,8°) + 607,2 cdot 1,43 cdot cos(24,8°) = N cdot 3,04 cdot sin(24,8°)
Calculando cada termo:
130,6 cdot 1,52 cdot 0,909 approx 180,0 , N cdot m
607,2 cdot 1,43 cdot 0,909 approx 785,7 , N cdot m
3,04 cdot 0,422 approx 1,28 , m
Somando os momentos à esquerda:
180,0 + 785,7 = 965,7 , N cdot m

Passo 8

Agora, podemos encontrar N:
965,7 = N cdot 1,28
N = 965,71,28 approx 754,3 , N

Passo 9

Agora, pelas forças horizontais, temos que a força de atrito na base ( Fatrito) deve igualar a reação na parede ( N):
Fatrito = N = 754,3 , N

Resposta

A força de atrito necessária na base da escada para mantê-la no lugar é aproximadamente 754,3 N.

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