A energia potencial de uma molécula diatômica (um sistema de dois átomos, como
) é dada por
em que
é a distância entre os átomos da molécula e
e
são constantes positivas. Essa energia potencial está associada à força de ligação entre os dois átomos.
b) Determine o intervalo de distâncias em que a força é atrativa (justifique com argumentos físicos e matemáticos);
b) Determine o intervalo de distâncias em que a força é atrativa (justifique com argumentos físicos e matemáticos);
Passo 1
Primeiro, vamos entender a questão. Temos a energia potencial de uma molécula diatômica dada por $ U = \frac{A}{r^{12}} - \frac{B}{r^{6}} $, onde $ r $ é a distância entre os átomos e $ A $ e $ B $ são constantes positivas. O que precisamos descobrir é em que intervalo de $ r $ a força é atrativa. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, mais especificamente, derivadas.
Passo 2
A força entre os átomos é relacionada à energia potencial pela fórmula $ F = -\frac{dU}{dr} $. Então, vamos calcular a derivada de $ U $ em relação a $ r $.
Passo 3
Calculando a derivada:
Portanto, a força é:
Passo 4
Queremos que a força seja atrativa, ou seja, $ F < 0 $. Então, vamos resolver a inequação:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por $ r^{13} $ (lembrando que $ r > 0 $, então o sinal da inequação não se inverte):
Passo 6
Isolando $ r^{6} $:
Passo 7
Extraindo a raiz sexta de ambos os lados:
Resposta
A força entre os átomos é atrativa para distâncias $ r > \left( \dfrac{2A}{B} \right)^{1/6} $.