Um cilindro sólido não condutor infinitamente longo de raio
tem uma distribuição de carga não uniforme, mas de simetria cilíndrica. A densidade de carga volumétrica é dada por
, onde
é uma constante positiva com unidades
e
é a distância radial do longo eixo central do cilindro. Qual é a carga em uma seção do cilindro de comprimento
?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um cilindro não condutor, de raio
e comprimento
, com densidade volumétrica de carga que só depende da distância radial
ao eixo, dada por
sendo
uma constante. O que a gente quer é a carga total
contida em uma seção cilíndrica de comprimento
.
Conteúdo da matéria: vamos usar integração de densidade volumétrica em coordenadas cilíndricas. Precisamos saber que o elemento de volume é
Conteúdo da matéria: vamos usar integração de densidade volumétrica em coordenadas cilíndricas. Precisamos saber que o elemento de volume é
e que a carga total é
Passo 2
Primeiro escrevemos a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Como o cilindro é de raio
e comprimento
, os limites são
Então
Passo 3
Observe que
. Logo a integral em
fica simples:
Então, após integrar em
, nossa carga parcial é
, e a integral vira
Passo 4
Agora integramos em
e
. Primeiro em
:
Por fim em
:
Resposta
A carga total na seção de comprimento
do cilindro é