Um cilindro sólido não condutor infinitamente longo de raio R tem uma distribuição de carga não uniforme, mas de simetria cilíndrica. A densidade de carga volumétrica é dada por rho(r)=c/r, onde c é uma constante positiva com unidades C/m^2 e r é a distância radial do longo eixo central do cilindro. Qual é a carga em uma seção do cilindro de comprimento l?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um cilindro não condutor, de raio rho(r)=cr, e comprimento dV = r,dr,dphi,dz , com densidade volumétrica de carga que só depende da distância radial Q = integralV rho,dV ao eixo, dada por
sendo uma constante. O que a gente quer é a carga total contida em uma seção cilíndrica de comprimento .
Conteúdo da matéria: vamos usar integração de densidade volumétrica em coordenadas cilíndricas. Precisamos saber que o elemento de volume é
e que a carga total é

Passo 2

Primeiro escrevemos a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Como o cilindro é de raio 0<= r<= R, 0<=phi<= 2pi, 0<= z<= l e comprimento Q = integralz=0^l!!integralphi=0^2pi!!integralr=0^R rho(r),r,dr,dphi,dz =integral0^l!!integral0^2pi!!integral0^R cr;r,dr,dphi,dz , os limites são
Então

Passo 3

Observe que integral0^R c,dr = c,[r]0^R = c,R . Logo a integral em Q = integral0^l!!integral0^2pi c,R ;dphi,dz fica simples:
Então, após integrar em , nossa carga parcial é , e a integral vira

Passo 4

Agora integramos em integral0^2pic,R,dphi = c,R;(2pi) = 2pi c R e Q = integral0^l 2pi c R ;dz = 2pi c R;[z]0^l = 2pi c R,l . Primeiro em :
Por fim em :

Resposta

A carga total na seção de comprimento boxedQ = 2pi,c,R,l do cilindro é

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