Um cilindro sólido não condutor infinitamente longo de raio R tem uma distribuição de carga não uniforme, mas de simetria cilíndrica. A densidade de carga volumétrica é dada por rho(r)=c/r, onde c é uma constante positiva com unidades C/m^2 e r é a distância radial do longo eixo central do cilindro. Escreva uma expressão para a magnitude do campo elétrico para r.

Passo 1

Beleza, a questão fala de um cilindro sólido, não condutor, de raio rho(r)=cr, , com densidade de carga que depende de (distância ao eixo) dada por
onde é uma constante. Temos simetria cilíndrica e queremos achar o campo elétrico no interior, isto é, para . Vamos usar o conteúdo de eletrostática—mais precisamente a Lei de Gauss—e precisaríamos:
• Saber montar uma superfície gaussiana que aproveite a simetria (um cilindro coaxial de raio e comprimento ).
• Calcular a carga total dentro dessa superfície integrando .
• Aplicar a Lei de Gauss .

Passo 2

Escolher a superfície gaussiana: um cilindro de raio Phi = E cdot (2pi r L) (com ) e comprimento . Por simetria, o campo aponta radialmente pra fora e tem magnitude constante na casca lateral. Nas tampas do cilindro o campo é perpendicular à área, mas o fluxo ali é zero (o campo é paralelo à superfície). Então só contamos o fluxo na superfície lateral:

Passo 3

Calcular a carga interna Qrm int = integral0^r rho(r'),dV = integral0^r cr';(2pi r' L),dr' = 2pi c L integral0^r dr' = 2pi c L,r . A densidade volumétrica é . O volume de um anel cilíndrico de raio , espessura e comprimento é . Assim

Passo 4

Aplicar a Lei de Gauss:
oint Ecdot dA = E,(2pi r L) = Qrm intvarepsilon0 = 2pi c L,rvarepsilon0
Isolando E = 2pi c L,rvarepsilon0, (2pi r L) = cvarepsilon0 :

Resposta

Para boxedE(r) = cvarepsilon0, , a magnitude do campo elétrico é
isto é, um valor constante, dirigido radialmente para fora.

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