Um cilindro sólido não condutor infinitamente longo de raio
tem uma distribuição de carga não uniforme, mas de simetria cilíndrica. A densidade de carga volumétrica é dada por
, onde
é uma constante positiva com unidades
e
é a distância radial do longo eixo central do cilindro. Escreva uma expressão para a magnitude do campo elétrico para
.
Passo 1
Beleza, a questão fala de um cilindro sólido, não condutor, de raio
, com densidade de carga que depende de
(distância ao eixo) dada por
onde
é uma constante. Temos simetria cilíndrica e queremos achar o campo elétrico
no interior, isto é, para
. Vamos usar o conteúdo de eletrostática—mais precisamente a Lei de Gauss—e precisaríamos:
• Saber montar uma superfície gaussiana que aproveite a simetria (um cilindro coaxial de raio e comprimento
).
• Calcular a carga total dentro dessa superfície integrando .
• Aplicar a Lei de Gauss .
• Saber montar uma superfície gaussiana que aproveite a simetria (um cilindro coaxial de raio
• Calcular a carga total dentro dessa superfície integrando
• Aplicar a Lei de Gauss
Passo 2
Escolher a superfície gaussiana: um cilindro de raio
(com
) e comprimento
. Por simetria, o campo
aponta radialmente pra fora e tem magnitude constante na casca lateral. Nas tampas do cilindro o campo é perpendicular à área, mas o fluxo ali é zero (o campo é paralelo à superfície). Então só contamos o fluxo na superfície lateral:
Passo 3
Calcular a carga interna
. A densidade volumétrica é
. O volume de um anel cilíndrico de raio
, espessura
e comprimento
é
. Assim
Passo 4
Aplicar a Lei de Gauss:
Isolando
:
Resposta
Para
, a magnitude do campo elétrico é
isto é, um valor constante, dirigido radialmente para fora.