O cilindro tem um diâmetro de 2 m , pesa 2300 Kgf , e uma largura de 1,5 \mathrm{~m}. Determinar as reações em A e B, desprezado o atrito. Densidade relativa do óleo é 0,89 . R : F_{A}=2670 \mathrm{kgf} e \mathrm{F}_{\mathrm{B}}=203 \mathrm{kgf}

Passo 1

O enunciado dá um cilindro de diâmetro 2\,\text{m} (logo raio R=1\,\text{m}), largura w=1{,}5\,\text{m} e peso W=2300\,\text{kgf}. O cilindro está totalmente imerso com a superfície livre de óleo tangenciando o ponto superior, apoiado no chão em B (reação vertical F_B) e contra uma parede vertical em A (reação horizontal F_A), sem atrito. A densidade relativa do óleo é 0,89.
Conteúdo: equilíbrio estático e hidrostática em superfícies curvas. Vamos precisar de:
  • peso específico do óleo \gamma,
  • componente horizontal da força hidrostática sobre a superfície curva,
  • componente vertical (= empuxo) igual ao peso do volume de óleo deslocado,
  • então aplicar \sum F_x=0 e \sum F_y=0.

Passo 2

Calcular o peso específico do óleo: como a densidade relativa é 0,89 e a do “padrão” (água) é 1000\,\text{kgf/m}^3,
\gamma = 0{,}89\times 1000 = 890\;\text{kgf/m}^3.

Passo 3

Determinar a componente horizontal da força hidrostática no cilindro. Para superfícies curvas,
a componente horizontal F_h equivale à força sobre a projeção vertical dessa superfície.
Essa projeção é um retângulo de altura 2R=2\,\text{m} e largura w=1{,}5\,\text{m}.
F_h \;=\;\gamma \int_{y=0}^{2}\! y\,\bigl(w\,dy\bigr) \;=\;\gamma\,w\,\frac{(2)^2}{2} \;=\;\gamma\times1{,}5\times2 \;=\;3\,\gamma.
Substituindo \gamma=890\,\text{kgf/m}^3,
F_A = F_h = 3\times 890 = 2670\;\text{kgf}.

Passo 4

Determinar a componente vertical da força hidrostática sobre a superfície curva. Essa componente é exatamente o empuxo E,
igual ao peso do volume de óleo deslocado. O volume imerso é o semicírculo de área \tfrac12\pi R^2 vezes a largura w:
V = \tfrac12\pi(1)^2\times1{,}5 = 0{,}75\pi\;\text{m}^3.
Logo
E = \gamma\,V = 890\times0{,}75\pi \approx 2097\;\text{kgf}.

Passo 5

Aplicar equilíbrio estático:
– em x: apenas F_A da parede e F_h, mas já ajustamos F_A=F_h.
– em y: reação vertical F_B para cima, empuxo E para cima e peso W para baixo, logo
\sum F_y=0 \;\Longrightarrow\; F_B + E - W = 0 \;\implies\; F_B = W - E = 2300 - 2097 = 203\;\text{kgf}.

Resposta

F_A = 2670\;\text{kgf} F_B = 203\;\text{kgf}

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