Um reservatório de água (
) tem sua altura máxima limitada por uma válvula borboleta colocada em uma tubulação de
no fundo. Considerando que o eixo do giro da comporta se encontra a
abaixo do centro de gravidade da área circular da válvula e o sentido horário é o de abertura, determine se o sistema irá abrir caso h seja de: a)
; e b)
. Qual é a altura h que a válvula estará prestes abrir? R: a)
abre; b)
não abre, c) limite abre a partir de
Passo 1
O reservatório contém água
com a superfície livre a uma altura
acima do centro do disco de uma válvula borboleta de diâmetro
. O eixo de giro é vertical e está deslocado para baixo em
em relação ao centro da área circular. O sentido horário (vista de frente) corresponde ao movimento de abertura. Para decidir se a válvula abre, calculamos o momento hidrostático resultante sobre o disco em torno do eixo e analisamos o seu sinal (horário = abre, anti-horário = fecha).
Passo 2
A força hidrostática resultante sobre a superfície plana do disco é
onde
Logo
Passo 3
O centro de pressão fica abaixo da superfície livre a uma profundidade
em que o momento de inércia da área circular em torno de um eixo horizontal pelo seu centro é
pois
. Assim
O pivô está a uma profundidade
. Definindo
se
a força produz momento horário (abertura) e se
produz momento anti-horário (fechamento).
Passo 4
Para
:
e como
, temos
. Portanto a força gera momento horário e a válvula abre.
Passo 5
Para
:
e como
, temos
. Portanto a força gera momento anti-horário e a válvula não abre.
Passo 6
O limite de abertura ocorre quando
, isto é
Arredondando para dois algarismos significativos, dizemos que a válvula estará prestes a abrir a partir de cerca de
.
Resposta
(a) Para
a válvula abre.
(b) Para a válvula não abre.
(c) A altura limite de abertura é aproximadamente .
(b) Para
(c) A altura limite de abertura é aproximadamente