Um reservatório de água ( \rho=1.000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) tem sua altura máxima limitada por uma válvula borboleta colocada em uma tubulação de \mathrm{D}=300 \mathrm{~mm} no fundo. Considerando que o eixo do giro da comporta se encontra a 2,5 \mathrm{~mm} abaixo do centro de gravidade da área circular da válvula e o sentido horário é o de abertura, determine se o sistema irá abrir caso h seja de: a) 2,5 \mathrm{~m}; e b) 2,0 \mathrm{~m}. Qual é a altura h que a válvula estará prestes abrir? R: a) 2,5 \mathrm{~m} abre; b) 2,0 \mathrm{~m} não abre, c) limite abre a partir de 2,1 \mathrm{~m}

Passo 1

O reservatório contém água \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} com a superfície livre a uma altura h acima do centro do disco de uma válvula borboleta de diâmetro D=0{,}30\\ \mathrm{m}. O eixo de giro é vertical e está deslocado para baixo em e=2{,}5\\ \mathrm{mm} em relação ao centro da área circular. O sentido horário (vista de frente) corresponde ao movimento de abertura. Para decidir se a válvula abre, calculamos o momento hidrostático resultante sobre o disco em torno do eixo e analisamos o seu sinal (horário = abre, anti-horário = fecha).

Passo 2

A força hidrostática resultante sobre a superfície plana do disco é
F \;=\;\rho\,g\,h\,A
onde
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}30)^2}{4}\approx0{,}0707\\ \mathrm{m^2}.
Logo
F = 1000\cdot9{,}81\cdot h\cdot0{,}0707\approx693{,}2\,h\quad(\mathrm{N}).

Passo 3

O centro de pressão fica abaixo da superfície livre a uma profundidade
y_{cp} = h \;+\;\frac{I_x}{h\,A},
em que o momento de inércia da área circular em torno de um eixo horizontal pelo seu centro é
I_x = \frac{\pi R^4}{4} \quad\Longrightarrow\quad \frac{I_x}{hA}=\frac{R^2}{4h},
pois R=D/2=0{,}15\\ \mathrm{m}. Assim
y_{cp} = h + \frac{R^2}{4h}.
O pivô está a uma profundidade y_{piv}=h+e. Definindo
\Delta y = y_{piv}-y_{cp}=e-\frac{R^2}{4h},
se \Delta y>0 a força produz momento horário (abertura) e se \Delta y<0 produz momento anti-horário (fechamento).

Passo 4

Para h=2{,}5\\ \mathrm{m}:
\frac{R^2}{4h} = \frac{(0{,}15)^2}{4\cdot2{,}5} =0{,}00225\\ \mathrm{m}=2{,}25\\ \mathrm{mm},
e como e=2{,}5\\ \mathrm{mm}>2{,}25\\ \mathrm{mm}, temos \Delta y>0. Portanto a força gera momento horário e a válvula abre.

Passo 5

Para h=2{,}0\\ \mathrm{m}:
\frac{R^2}{4h} = \frac{0{,}0225}{4\cdot2{,}0} =0{,}0028125\\ \mathrm{m}=2{,}8125\\ \mathrm{mm},
e como e=2{,}5\\ \mathrm{mm}<2{,}8125\\ \mathrm{mm}, temos \Delta y<0. Portanto a força gera momento anti-horário e a válvula não abre.

Passo 6

O limite de abertura ocorre quando \Delta y=0, isto é
e=\frac{R^2}{4\,h_{\rm lim}} \quad\Longrightarrow\quad h_{\rm lim}=\frac{R^2}{4\,e} =\frac{(0{,}15)^2}{4\cdot0{,}0025}\approx2{,}25\\ \mathrm{m}.
Arredondando para dois algarismos significativos, dizemos que a válvula estará prestes a abrir a partir de cerca de 2{,}1\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) Para h=2,5\\ \mathrm{m} a válvula abre.
(b) Para h=2,0\\ \mathrm{m} a válvula não abre.
(c) A altura limite de abertura é aproximadamente 2,1\\ \mathrm{m}.

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