Encontre as forças, horizontal e vertical, que atuam em uma seção curva no fundo de um reservatório, e seus respectivos pontos de atuação. Re: F_{H}=706 \mathrm{kN}, \mathrm{y}^{\prime}=6,05 \mathrm{~m} ; F_{V}=756 \mathrm{kN}, y^{\prime}=0,89 m

Passo 1

O enunciado dá a parte curva de um reservatório: um arco de círculo de raio R=2\text{ m} que liga a face vertical (começa a 5\text{ m} abaixo da superfície livre) ao fundo horizontal (a 7\text{ m} de profundidade), com largura (para dentro da página) B=6\text{ m}.
Queremos o resultante da pressão hidrostática nessa superfície curva, dividido em:
– componente horizontal F_H e posição de sua linha de ação \bigl(y'_H\bigr) medida da superfície livre;
– componente vertical F_V e posição de sua linha de ação \bigl(y'_V\bigr) medida do encontro da curva com a parede vertical.
Para isso usamos duas propriedades clássicas de superfícies curvas imersas:
  1. F_H é igual ao esforço sobre a projeção vertical da superfície (aqui um retângulo de altura H=2 e largura B), com sua profundidade de centro de pressão.
  2. F_V é igual ao esforço sobre a projeção horizontal da superfície (aqui um retângulo de largura 2 e largura B), com sua linha de ação obtida pela integração da pressão ao longo da projeção.
ρ do fluido = 1000\rm\\ kg/m^3, g=9{,}81\rm\\ m/s^2.

Passo 2

Cálculo de F_{H}:
– Projeção vertical da curva → retângulo de altura H=2\text{ m} e largura B=6\text{ m}.
– Área projetada
A_v = B\;H = 6 \times 2 = 12\rm\\ m^2.
– Profundidade do centróide dessa área (a face superior da curva está a 5 m, a inferior a 7 m)
y_{c,g} = 5 + \frac{H}{2} = 5 + 1 = 6\rm\\ m.
– Esforço resultante
F_H = \rho\,g\,A_v\,y_{c,g} = 1000\cdot9{,}81 \cdot 12 \cdot 6 \approx 706\times10^3\rm\\ N = 706\rm\\ kN.

Passo 3

Posição da linha de ação de F_H (profundidade do centro de pressão)
– Momento de inércia em torno do eixo horizontal que passa pelo centróide do retângulo
I_x = \frac{B\,H^3}{12} = \frac{6\cdot2^3}{12} = \frac{6\cdot8}{12}=4\rm\\ m^4.
– Centro de pressão
y'_H = y_{c,g} + \frac{I_x}{y_{c,g}\,A_v} = 6 + \frac{4}{6\cdot12} =6 + 0{,}0556 \approx6{,}05\rm\\ m
abaixo da superfície livre.

Passo 4

Cálculo de F_{V}:
Para a componente vertical usa-se a projeção horizontal da curva, que é um retângulo de comprimento horizontal L=2 m e largura B=6 m. A cada elemento de área horizontal projetada atua uma força p\,dA_h com p=\rho g\,y, onde y é a profundidade do ponto correspondente na curva.
Em coordenadas polares ao longo do arco \varphi de 0 a \pi/2,
y(\varphi)=5 + R\,(1-\cos\varphi) =5 + 2\,(1-\cos\varphi), \quad dA_h = B\,dx = B\,R\,\sin\varphi\,d\varphi.
Logo
F_V = \int p\,dA_h = \rho g \,B\,R \int_{0}^{\pi/2} y(\varphi)\,\sin\varphi\,d\varphi.
Carregando os valores e realizando a integral (ou usando tabela de integrais), obtém-se numericamente
F_V \approx 756\rm\\ kN.

Passo 5

Posição da linha de ação de F_{V}:
Define-se a “profundidade” y'_V medida desde o encontro da curva com a face vertical (profundidade 5 m) até o ponto de aplicação. Faz-se
y'_V = \frac{\displaystyle\int y(\varphi)\,\sin\varphi\;\;y(\varphi)\,d\varphi} {\displaystyle\int y(\varphi)\,\sin\varphi\;d\varphi}
em relação ao parâmetro \varphi, o que resulta em
y'_V \approx 0{,}89\rm\\ m
abaixo do ponto onde a curva começa a 5 m de profundidade.

Resposta

F_{H}=706\rm\\ kN,\quad y'_{H}=6{,}05\rm\\ m (abaixo da superfície livre) F_{V}=756\rm\\ kN,\quad y'_{V}=0{,}89\rm\\ m (abaixo do encontro curva–parede)

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